Potenzreihe/Konvergenz in einem Punkt/Absolut gleichmäßige Konvergenz im Radius/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir werden Fakt auf anwenden. Wegen der Konvergenz für sind die Summanden nach Fakt eine Nullfolge, d.h. es gibt insbesondere ein mit

für alle . Daher gelten für jedes die Abschätzungen

Dabei ist nach Voraussetzung

Daher liegen rechts die Summanden einer nach Fakt konvergenten geometrische Reihe vor. Deren Grenzwert liefert eine obere Schranke für die Reihe der Supremumsnormen.