Potenzreihe/Konvergenz in einem Punkt/Absolut gleichmäßige Konvergenz im Radius/Fakt/Beweis

Beweis

Wir werden Fakt auf  $T=B(a,r)$  anwenden. Wegen der Konvergenz für  $z=b$  sind die Summanden $c_n(b-a{)}^n$ nach Fakt eine Nullfolge, d.h. es gibt insbesondere ein  $M>0$  mit

$|c_n(b-a{)}^n|\le M$

für alle  $n\in \mathbb{N}$.  Daher gelten für jedes  $z\in B(a,r)$  die Abschätzungen

$|c_n(z-a{)}^n|=|c_n(b-a{)}^n|\cdot |\frac{z-a}{b-a}{|}^n\le M\cdot |\frac{z-a}{b-a}{|}^n\le M{\left(\frac{r}{|b-a|}\right)}^n.$

Dabei ist nach Voraussetzung

$\frac{r}{|b-a|}<1.$

Daher liegen rechts (bis auf den Vorfaktor $M$) die Summanden einer nach Fakt konvergenten geometrischen Reihe vor. Deren Grenzwert liefert eine obere Schranke für die Reihe der Supremumsnormen.

Zur bewiesenen Aussage