Potenzreihe/Konvergenz in einem Punkt/Absolut gleichmäßige Konvergenz im Radius/Fakt/Beweis

Beweis

Wir werden Fakt auf ${}T=B\left(a,r\right)$ anwenden. Wegen der Konvergenz für ${}z=b$ sind die Summanden ${}c_{n}(b-a)^{n}$ nach Fakt eine Nullfolge, d.h. es gibt insbesondere ein ${}M>0$ mit

${}\vert {c_{n}(b-a)^{n}}\vert \leq M\,$

für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Daher gelten für jedes ${}z\in B\left(a,r\right)$ die Abschätzungen

${}\vert {c_{n}(z-a)^{n}}\vert =\vert {c_{n}(b-a)^{n}}\vert \cdot \vert {\frac {z-a}{b-a}}\vert ^{n}\leq M\cdot \vert {\frac {z-a}{b-a}}\vert ^{n}\leq M{\left({\frac {r}{\vert {b-a}\vert }}\right)}^{n}\,.$

Dabei ist nach Voraussetzung

${}{\frac {r}{\vert {b-a}\vert }}<1\,.$

Daher liegen rechts die Summanden einer nach Fakt konvergenten geometrische Reihe vor. Deren Grenzwert liefert eine obere Schranke für die Reihe der Supremumsnormen.

Zur bewiesenen Aussage