Potenzreihenring/Endlich viele Variablen/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}T_{1},\ldots ,T_{n}$ eine Menge von Variablen. Eine formale Potenzreihe ist ein Ausdruck der Form

${}F=\sum _{\nu }a_{\nu }T^{\nu }=\sum _{\nu }a_{\nu }T_{1}^{\nu _{1}}\cdots T_{n}^{\nu _{n}}\,,$

wobei ${}a_{\nu }\in R$ für alle ${}\nu =(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ ist.

Man addiert zwei Potenzreihen komponentenweise und multipliziert sie in der gleichen Weise wie Polynome. In einer Variablen hat man

${}F\cdot G={\left({\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\right)}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}={\sum }_{k=0}^{\infty }c_{k}T^{k}\,$

mit ${}c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}$.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Dann bezeichnet man mit

$R[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]$

den Potenzreihenring in ${}n$ Variablen (oder den Ring der formalen Potenzreihen in ${}n$ Variablen).

Lemma

Ein Potenzreihenring ${}K[[T_{1},\ldots ,T_{n}]]$ über einem Körper ${}K$

ist ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal ${}(T_{1},\ldots ,T_{n})$ und dem Restekörper ${}K$.

Beweis

Es ist ${}T_{1}P$ für eine beliebige Potenzreihe ${}P$ definitiv nicht gleich ${}1$ und somit sind die Variablen keine Einheiten. Es sei ${}Q\notin (T_{1},\ldots ,T_{n})$. Dann ist der Koeffizient ${}a_{0}$ von ${}Q$ nicht ${}0$. Wir machen den Ansatz

${}QP={\left(a_{0}+\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}\setminus \{0\}}a_{\nu }T^{\nu }\right)}{\left(b_{0}+\sum _{\mu \in \mathbb {N} ^{n}\setminus \{0\}}b_{\mu }T^{\mu }\right)}=1\,$

und zeigen durch Induktion über den Grad von ${}\mu$, dass es ${}b_{\mu }$ gibt, die diese Gleichung erfüllen. Zunächst ist

${}b_{0}:={\frac {1}{a_{0}}}\,$

zu wählen. Es seien nun alle Koeffizienten vom Grad ${}<\vert {\mu }\vert$ schon gefunden. Der Koeffizient vor ${}T^{\mu }$ ist

$\sum _{\nu +\lambda =\mu }a_{\nu }\cdot b_{\lambda },$

und dieser soll ${}0$ werden. In der Summe sind die ${}a_{\nu }$ bekannt und sämtliche ${}b_{\lambda }$ mit der Ausnahme von ${}b_{\mu }$ (der mit ${}a_{0}$ zu multiplizieren ist) sind auch schon bekannt, da diese kleineren Grad als ${}\vert {\mu }\vert$ haben. Es ist nun ${}b_{\mu }$ so zu wählen, dass die Gesamtsumme gleich ${}0$ ist, was wegen ${}a_{0}\neq 0$ in eindeutiger Weise möglich ist. Das Komplement des Ideals ${}(T_{1},\ldots ,T_{n})$ besteht also nur aus Einheiten und somit handelt es sich um ein maximales Ideal. Der Restklassenkörper ist ${}K$, und zwar gibt es einen kanonischen Isomorphismus

$K\longrightarrow K[[T_{1},\ldots ,T_{n}]]\longrightarrow K[[T_{1},\ldots ,T_{n}]]/(T_{1},\ldots ,T_{n}).$

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}R[[T_{1},\ldots ,T_{n}]]$ der Potenzreihenring über ${}R$.

Dann ist

${}R[[T_{1},\ldots ,T_{n}]]/(T_{n})\cong R[[T_{1},\ldots ,T_{n-1}]]\,.$

Beweis

Bei der Restklassenbildung zum Ideal ${}T_{n}$ werden alle Potenzreihen mit der Eigenschaft, dass in jedem Monom davon ${}T_{n}$ vorkommt, zu ${}0$ gemacht. Übrig bleiben die Potenzreihen, bei denen kein ${}T_{n}$ vorkommt.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring.

Dann ist die Komplettierung des Polynomringes ${}R[T_{1},\ldots ,T_{n}]$ am Ideal

${}{\mathfrak {a}}=(T_{1},\ldots ,T_{n})\,$

isomorph zum Potenzreihenring ${}R[[T_{1},\ldots ,T_{n}]]$.

Beweis

Die für die Komplettierung relevanten Restklassenringe sind

${}R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/{\mathfrak {a}}^{k}=R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/(T_{1},\ldots ,T_{n})^{k}\cong \bigoplus _{\left\{\nu \mid \vert {\nu }\vert <k\right\}}RT^{\nu }\,.$

Insbesondere handelt es sich um ${}R$-freie Moduln. Bei den Restklassenhomomorphismen zu verschiedenen Potenzen { \left( ${}\ell \geq k$ \right) }

$R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/{\mathfrak {a}}^{\ell }\cong \bigoplus _{\left\{\nu \mid \vert {\nu }\vert <\ell \right\}}RT^{\nu }\longrightarrow R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/{\mathfrak {a}}^{k}\cong \bigoplus _{\left\{\nu \mid \vert {\nu }\vert <k\right\}}RT^{\nu }$

werden einfach die Monome vom Grad ${}\geq k$ zu ${}0$ gemacht und die ${}<k$ auf sich selbst abgebildet. Somit ist eine Potenzreihe das gleiche wie eine kompatible Folge in dieses Restklassenringen.

$\Box$