Potenzreihenring/Endlich viele Variablen/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Sei ein kommutativer Ring und eine Menge von Variablen. Eine formale Potenzreihe ist ein Ausdruck der Form

wobei für alle ist.

Man addiert zwei Potenzreihen komponentenweise und multipliziert sie in der gleichen Weise wie Polynome. In einer Variablen hat man

mit .


Definition  

Sei ein kommutativer Ring. Dann bezeichnet man mit

den Potenzreihenring in Variablen (oder den Ring der formalen Potenzreihen in Variablen).



Lemma  

Ein Potenzreihenring über einem Körper

ist ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal und dem Restekörper .

Beweis  

Es ist für eine beliebige Potenzreihe definitiv nicht gleich und somit sind die Variablen keine Einheiten. Sei . Dann ist der Koeffizient von nicht . Wir machen den Ansatz

und zeigen durch Induktion über den Grad von , dass es gibt, die diese Gleichung erfüllen. Zunächst ist

zu wählen. Seien nun alle Koeffizienten vom Grad schon gefunden. Der Koeffizient vor ist

und dieser soll werden. In der Summe sind die bekannt und sämtliche mit der Ausnahme von (der mit zu multiplizieren ist) sind auch schon bekannt, da diese kleineren Grad als haben. Es ist nun so zu wählen, dass die Gesamtsumme gleich ist, was wegen in eindeutiger Weise möglich ist. Das Komplement des Ideals besteht also nur aus Einheiten und somit handelt es sich um ein maximales Ideal. Der Restklassenkörper ist , und zwar gibt es einen kanonischen Isomorphismus




Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring und der Potenzreihenring über .

Dann ist

Beweis  

Bei der Restklassenbildung zum Ideal werden alle Potenzreihen mit der Eigenschaft, dass in jedem Monom davon vorkommt, zu gemacht. Übrig bleiben die Potenzreihen, bei denen kein vorkommt.




Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring.

Dann ist die Komplettierung des Polynomringes am Ideal

isomorph zum Potenzreihenring .

Beweis  

Die für die Komplettierung relevanten Restklassenringe sind

Insbesondere handelt es sich um -freie Moduln. Bei den Restklassenhomomorphismen zu verschiedenen Potenzen { \left( \right) }

werden einfach die Monome vom Grad zu gemacht und die auf sich selbst abgebildet. Somit ist eine Potenzreihe das gleiche wie eine kompatible Folge in dieses Restklassenringen.