Produkt von Mannigfaltigkeiten/Abbildungseigenschaften/Fakt

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und ${}M\times N$ ihr Produkt. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die Projektionen

   $p_{1}\colon M\times N\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x,$

   und

   $p_{2}\colon M\times N\longrightarrow N,\,(x,y)\longmapsto y,$

   sind differenzierbare Abbildungen.

2. Der Tangentialraum in einem Punkt  ${}R=(P,Q)$  ist  ${}T_{R}(M\times N)=T_{P}M\times T_{Q}N$. 
3. Es sei ${}L$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann ist eine Abbildung

   $\varphi \times \psi \colon L\longrightarrow M\times N,\,u\longmapsto (\varphi (u),\psi (u)),$

   genau dann differenzierbar, wenn die Komponentenabbildungen ${}\varphi$ und ${}\psi$ differenzierbar sind.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen