Produkt von Mannigfaltigkeiten/Abbildungseigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Durch Übergang zu Karten können wir annehmen, dass ${}M$ und ${}N$ offene Teilmengen im ${}\mathbb {R} ^{m}$ bzw. im ${}\mathbb {R} ^{n}$ sind. In diesem Fall handelt es sich um eine Einschränkung der linearen Projektion ${}\mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$, die nach Fakt stetig differenzierbar ist.
(2). Die differenzierbaren Projektionen ${}p_{1}\colon M\times N\rightarrow M$ und ${}p_{2}\colon M\times N\rightarrow N$ liefern die linearen Tangentialabbildungen ${}T_{R}(p_{1})\colon T_{R}(M\times N)\rightarrow T_{P}M$ und ${}T_{R}(p_{2})\colon T_{R}(M\times N)\rightarrow T_{Q}N$ und damit insgesamt die lineare Abbildung

$T_{R}(p_{1})\times T_{R}(p_{2})\colon T_{R}(M\times N)\longrightarrow T_{P}M\times T_{Q}N.$

Zum Nachweis der Bijektivität kann man zu Karten übergehen und annehmen, dass ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und ${}N\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen sind. Diese Abbildung wird dann zur Bijektion

$p_{1}\times p_{2}\colon \mathbb {R} ^{m+n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}.$

(3). Für einen fixierten Punkt ${}A\in L$ kann man unter Verwendung von Kartenumgebungen von ${}A$ und von ${}\varphi (A)$ und ${}\psi (A)$ sich darauf zurückziehen, dass alle drei Mannigfaltigkeiten offene Mengen in euklidischen Räumen sind. Wenn beide Abbildungen stetig differenzierbar sind, so folgt nach Aufgabe die stetige Differenzierbarkeit der Gesamtabbildung. Die Umkehrung ist klar.

Zur bewiesenen Aussage