Projektion weg vom Punkt/Auf Kurve/Sekanten/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine ebene projektive Kurve. Es sei ${}P\in C$ ein Punkt der Kurve und sei

$\varphi \colon C\setminus \{P\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

der durch die Projektion weg vom Punkt definierte Morphismus. Bei dieser Abbildung wird also ein Punkt ${}Q\in C$, ${}Q\neq P$, auf die durch ${}Q$ und ${}P$ gegebene Sekante abgebildet.

1. Sei ${}K={\mathbb {C} }$ und sei ${}Q_{n}$ eine Folge auf ${}C$, die in der komplexen Topologie gegen ${}P$ konvergiert. Konvergiert ${}\varphi (Q_{n})$?
2. Besitzt ${}\varphi (Q_{n})$ einen Häufungspunkt?
3. Es sei ${}P$ ein glatter Punkt. Zeige, dass es eine Fortsetzung des Morphismus auf ganz ${}C$ gibt.

Eine Lösung erstellen