Projektion weg vom Punkt/Auf Kurve/Sekanten/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei  ${}C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$  eine ebene projektive Kurve. Es sei  ${}P\in C$  ein Punkt der Kurve und sei

$\varphi \colon C\setminus \{P\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

der durch die Projektion weg vom Punkt definierte Morphismus. Bei dieser Abbildung wird also ein Punkt ${}Q\in C$, ${}Q\neq P$, auf die durch ${}Q$ und ${}P$ gegebene Sekante abgebildet.

a) Es sei  ${}K={\mathbb {C} }$  und sei ${}Q_{n}$ eine Folge auf ${}C$, die in der komplexen Topologie gegen ${}P$ konvergiert. Konvergiert ${}\varphi (Q_{n})$?

b) Besitzt ${}\varphi (Q_{n})$ einen Häufungspunkt?

c) Es sei ${}P$ ein glatter Punkt. Zeige, dass es eine Fortsetzung des Morphismus auf ganz ${}C$ gibt.

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