Projektive Gerade/Zahlbereich/Absolute Höhe/Schrankensatz/Fakt/Beweis

Beweis

Wir müssen nur Punkte der Form ${}(x,1)$ betrachten. Es seien die Schranken ${}d$ und ${}S$ fixiert und sei ${}(x,1)$ unterhalb der Schranke. D.h. dass ${}x$ in einer Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ liegt, deren Grad ${}\leq d$ ist, und ${}H(x)\leq S$. Es sei ${}P=T^{e}+a_{e-1}T^{e-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}\in \mathbb {Q} [T]$ das Minimalpolynom zu ${}x$, dessen Grad ${}e\leq d$ sei. Es liegt dann in ${}{\overline {\mathbb {Q} }}$ die Faktorzerlegung (mit ${}x_{1}=x$)

${}P=(T-x_{1})(T-x_{2})\cdots (T-x_{e})\,$

vor. Nach Aufgabe stimmt die Höhe der ${}x_{i}$ mit der Höhe von ${}x$ überein. Nach Fakt ist

${}H(a_{0},\ldots ,a_{e-1},1)\leq 2^{e-1}\prod _{j=1}^{e}H(x_{j})=2^{e-1}H(x)^{e}\leq (2S)^{d}\,.$

Nach Aufgabe unterbieten nur endlich viele ${}\mathbb {Q}$-rationale Punkte ${}(a_{0},\ldots ,a_{e-1},1)$ eine vorgegebene Höhenschranke. Somit kommen nur endlich viele Polynome als Minimalpolynome in Frage und diese haben jeweils nur endlich viele Nullstellen.

Zur bewiesenen Aussage