Projektive Gerade/Zahlbereich/Absolute Höhe/Schrankensatz/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir müssen nur Punkte der Form betrachten. Es seien die Schranken und fixiert und sei unterhalb der Schranke. D.h. dass in einer Körpererweiterung liegt, deren Grad ist, und . Es sei das Minimalpolynom zu , dessen Grad sei. Es liegt dann in die Faktorzerlegung (mit )

vor. Nach Aufgabe stimmt die Höhe der mit der Höhe von überein. Nach Fakt ist

Nach Aufgabe unterbieten nur endlich viele -rationale Punkte eine vorgegebene Höhenschranke. Somit kommen nur endlich viele Polynome als Minimalpolynome in Frage und diese haben jeweils nur endlich viele Nullstellen.