Projektive Varietät/Z/Endliche Punktmenge/Reduktion/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können direkt mit Fakt annehmen, dass ${}Y$ der projektive Raum ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {Z} }^{n}$ über ${}\mathbb {Z}$ ist. Ferner können wir jeden Punkt nach Bemerkung durch ein teilerfremdes ganzzahliges Tupel repräsentieren, in diesem Fall kann man alle Reduktionen direkt ausrechnen. Die Gleichheit von Punkten ${}P_{i}=\left(a_{i0},\,a_{i1},\,\ldots ,\,a_{in}\right)$ und ${}P_{j}=\left(a_{j0},\,a_{j1},\,\ldots ,\,a_{jn}\right)$ kann man über die Minoren testen, siehe Aufgabe. Zu jedem Punkteindexpaar ${}1\leq i<j\leq m$ ist für zumindest ein Koeffizientenindexpaar ${}0\leq r<s\leq n$ der Ausdruck ${}a_{ir}a_{js}-a_{jr}a_{is}\neq 0$. Wenn man ${}p$ so wählt, dass ${}p$ kein Teiler von diesen Minoren ${}\neq 0$ ist, so ergibt sich, dass modulo ${}p$ die Punkte verschieden bleiben.

Zur bewiesenen Aussage