Projektive glatte Kurve/C/Punkt/Algebraischer Halm/Meromorphe Charakterisierung/Aufgabe

Es sei ${}X$ eine glatte irreduzible projektive Kurve über ${}{\mathbb {C} }$ und sei ${}X_{\operatorname {an} }$ die zugehörige kompakte riemannsche Fläche und sei ${}P\in X$

ein Punkt. Charakterisiere den algebraischen Halm ${}{\mathcal {O}}_{X_{\operatorname {alg} },P}$ in ${}X_{\operatorname {an} }$, also allein durch analytische Konzepte. Man erläutere ferner, dass eine solche Charakterisierung allein innerhalb des analytischen Halmes ${}{\mathcal {O}}_{X_{\operatorname {an} },P}$ nicht möglich ist.

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