Projektiver Raum/Geradenmenge/Tafelbilder/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Sei ein Körper. Der projektive -dimensionale Raum besteht aus allen Geraden des durch den Nullpunkt, wobei diese Geraden als Punkte aufgefasst werden. Ein solcher Punkt wird repräsentiert durch homogene Koordinaten , wobei nicht alle sein dürfen, und wobei zwei solche Koordinatentupel genau dann den gleichen Punkt repräsentieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander übergehen.

Wir werden den projektiven Raum nach und nach mit zusätzlichen Strukturen versehen.



Satz  

Sei ein Körper und sei ein projektiver Raum. Sei fixiert.

Dann gibt es eine natürliche Abbildung

Diese Abbildung ist injektiv und induziert eine Bijektion zu denjenigen Punkten des projektiven Raumes, bei denen die -te homogene Koordinate nicht ist. Die Umkehrabbildung wird gegeben durch

Der projektive Raum wird überdeckt von diesen affinen Räumen. Das Komplement eines solchen affinen Raumes ist ein -dimensionaler projektiver Raum.

Beweis  

Die Abbildung ist offensichtlich wohldefiniert, da die sicher stellt, dass mindestens eine homogene Koordinate nicht ist. Die Abbildung ist injektiv, da aus einer Gleichung der Form (für homogene Koordinaten)

sofort wegen der folgt. Die Umkehrabbildung ist auf der angegebenen Teilmenge wohldefiniert, und ist invers zu der Abbildung. Die Überdeckungseigenschaft ist klar, da für jeden Punkt des projektiven Raumes mindestens eine homogene Koordinate nicht ist. Das Komplement zu ist

mit keinerlei Einschränkung an die übrigen Variablen und mit der Identifizierung von zwei solchen Tupeln, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander übergehen.


Projektiveline1bb.jpg


Projektiveline2bb.jpg


Projektiveline3bb.jpg



Beispiel  

Die projektive Gerade ist gegeben als die Menge der Geraden durch den Nullpunkt in der affinen Ebene . Eine solche Gerade ist entweder die -Achse oder aber eine Gerade, die die Gerade (also die zur -Achse parallele Gerade durch ) in genau einem Punkt schneidet. Umgekehrt liefert jeder Punkt eine eindeutig bestimmte Gerade durch den Nullpunkt. D.h. die projektive Gerade besteht aus einer affinen Gerade und einem weiteren Punkt, den man den „unendlich fernen“ Punkt nennt. Wichtig ist dabei aber, dass dieser unendlich ferne Punkt nicht wesensverschieden von den anderen Punkten ist. Wenn man eine beliebige Gerade durch den Nullpunkt nimmt sowie eine dazu parallele Gerade , so übernimmt die Rolle der affinen Geraden, und repräsentriert dann einen (von dieser affinen Geraden aus gesehen) unendlich fernen Punkt.


Projektiveplane1bb.jpg
Projektiveplane2bb.jpg
Projektiveplane3bb.jpg
Projektiveplane4bb.jpg



Beispiel  

Die Punkte in der projektiven Ebene entsprechen den Geraden durch den Nullpunkt im affinen Raum . Jeder Punkt der projektiven Ebene wird repräsentiert durch ein Tupel , wobei nicht alle gleichzeitig sein dürfen und wobei zwei Koordinatentupel identifiziert werden, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander überführt werden können. Die projektive Ebene wird überdeckt durch drei affine Ebenen, nämlich

Dabei besteht aus allen Punkten, wo die dritte Koordinate nicht ist. Durch Multiplikation mit kann man diese Punkte mit

identifizieren, so dass wirklich eine affine Ebene vorliegt. Das Komplement der affinen Ebene ist die Menge der Punkte, wo die dritte Komponente ist. Da man nach wie vor Punkte identifiziert, die durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander überführbar sind, ist eine projektive Gerade. Ein Punkt auf dieser Geraden und der Nullpunkt von definieren die Gerade durch den Nullpunkt mit dem Richtungsvektor (und der homogenen Geradengleichung bzw. ). Man kann sich also die projektive Ebene gut vorstellen als eine affine Ebene, in der jede Gerade durch den Nullpunkt noch einen zusätzlichen („unendlich fernen“) Punkt definiert.