Ein Polynom vom Grad zwei nennt man auch ein quadratisches Polynom. Wir schreiben es in der Form
-
Wenn
ist, so fällt der vordere Term weg und es liegt ein lineares, kein quadratisches Polynom vor. Wenn
ist, so spricht man von einem rein-quadratischen Polynom.
Es sei ein quadratisches Polynom über
gegeben. Wir interessieren uns für die Frage, ob das Polynom Nullstellen
besitzt und wie diese zu ermitteln sind. Es geht also um Lösungen einer Gleichung der Form
-
![{\displaystyle {}aX^{2}+bX+c=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49ee2636463252a6f74bcbafdd2f02c35be379fa)
Dabei sind
vorgegeben mit
und gesucht ist
derart, dass wenn man die Zahl
für die Variable
einsetzt, sich der Wert
ergibt. Wenn
ist, also eine Gleichung der Form
-
![{\displaystyle {}aX^{2}+c=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b45a4bb2a2c4e168fafb26f251dec56a7d6659ec)
vorliegt, so geht es einfach um das ziehen einer Quadratwurzel. Die Gleichung ist ja äquivalent zu
-
![{\displaystyle {}X^{2}=-{\frac {c}{a}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed0652fbcf5b157d73b16b33e97db149130ca5ec)
Wenn die Zahl rechts negativ ist, so gibt es keine Lösung. Wenn die Zahl rechts
ist
(was bei
der Fall ist),
so gibt es die einzige Lösung
. Wenn die Zahl rechts positiv ist, so gibt es zwei Lösungen, nämlich
. In einem beliebigen Körper geht es um die Frage, ob
eine Quadratwurzel besitzt oder nicht.
Für die Gleichung
-
![{\displaystyle {}aX^{2}+bX=0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a08767a8d6568b4cc5eb3ba8381db9527e5f27)
wo also
ist, kann man sofort die Lösungen angeben, nämlich
und
.
Für die allgemeine quadratische Gleichung
-
![{\displaystyle {}aX^{2}+bX+c=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15d005c73cf87cfcc7124b9430c982cb4d62da08)
gibt es einen wichtigen Trick, sie auf eine rein-quadratische Form zurückzuführen und sie damit durch Wurzelziehen zu lösen, das sogenannte quadratische Ergänzen. Zunächst dividiert man durch
und erhält die äquivalente Gleichung
-
![{\displaystyle {}X^{2}+{\frac {b}{a}}X+{\frac {c}{a}}=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55a0c0c4d59b27662f70233a696510b102a0ab8a)
Das nennt man auch eine normierte Gleichung, da links ein normiertes Polynom steht. Wir schreiben diese Gleichung mit
-
![{\displaystyle {}p={\frac {b}{a}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a13c75bf993b67e01500698b946eecd45e65cfa)
und
-
![{\displaystyle {}q={\frac {c}{a}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ac3f87fd3c0c6fd464692ac0bbf779e05840a14)
als
-
![{\displaystyle {}X^{2}+pX+q=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b89c6ec0ad0975586816f0b31fe2c8a30b47e86)
Dieses Polynom schreiben wir nun scheinbar komplizierter als
-
![{\displaystyle {}X^{2}+pX+q={\left(X+{\frac {p}{2}}\right)}^{2}-{\frac {p^{2}}{4}}+q\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef4a82135288e73d6d6009d2f24a6dfb786f1d38)
Durch Ausmultiplizieren der rechten Seite mit Hilfe der ersten binomischen Formel sieht man, dass die Terme links und rechts übereinstimmen. Der Gewinn ist dabei, dass
eine „verschobene Variable“ ist, die wie eine Variable behandelt werden kann, und dass
eine reelle Zahl ist. Es liegt also im Wesentlichen eine rein-quadratische Gleichung vor. Mit einer Umstellung erhält man
-
![{\displaystyle {}{\left(X+{\frac {p}{2}}\right)}^{2}={\frac {p^{2}}{4}}-q\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d20c5895f5fa94226f078b13c43c25ccc12e327)
und somit
-
![{\displaystyle {}X+{\frac {p}{2}}=\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bdf99cd79a52e27c9ed1dc1d2c47228a79fa930)
vorausgesetzt, dass der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen nichtnegativ ist. Als Lösung erhält man dann
-
![{\displaystyle {}X=\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}-{\frac {p}{2}}={\frac {\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}-p}{2}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e57ba0f9bb712c1f95c6360e6f7ae3bc9667906f)
Es sei
-
![{\displaystyle {}aX^{2}+bX+c=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15d005c73cf87cfcc7124b9430c982cb4d62da08)
eine reelle quadratische Gleichung.
Dann gilt folgendes Lösungsverhalten
- Bei
-
![{\displaystyle {}b^{2}-4ac<0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3356cc62f01a9c1ca76b6ffd3fac498cbfdff849)
gibt es keine reelle Lösung.
- Bei
-
![{\displaystyle {}b^{2}-4ac=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bceec8d3af4ca071fbd0c08373b6b15f2fd234a)
gibt es die eine Lösung
-
![{\displaystyle {}x={\frac {-b}{2a}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f184a9412c4b9514dace287e0e0f7ef9bd27a2b1)
- Bei
-
![{\displaystyle {}b^{2}-4ac>0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e99ff9a883587f1f05c9ff2b39a56ab6d69bd85)
gibt es die beiden Lösungen
-
![{\displaystyle {}x_{1,2}={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}-b}{2a}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e654c7150936ab930ea13ad19114dde5b93fc651)
Die Lösung in (2) ist ein Spezialfall von (3), in dem die beiden Lösungen zusammenfallen. Wir zeigen explizit, dass in der Tat Lösungen vorliegen. Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}a{\left({\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}-b}{2a}}\right)}^{2}+b{\left({\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}-b}{2a}}\right)}+c&=a{\frac {b^{2}-4ac+\mp 2b{\sqrt {b^{2}-4ac}}+b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {\pm b{\sqrt {b^{2}-4ac}}-b^{2}}{2a}}+c\\&={\frac {b^{2}-4ac+\mp 2b{\sqrt {b^{2}-4ac}}+b^{2}\pm 2b{\sqrt {b^{2}-4ac}}-2b^{2}+4ac}{4a}}\\&=0.\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3031c8621742ad09bb067449673264e11a0a815)
Da eine quadratische Gleichung nur maximal zwei Lösungen besitzt, sind wir im dritten Fall fertig.
Im Allgemeinen schreiben wir
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}aX^{2}+bX+c&=a{\left(X^{2}+{\frac {b}{a}}X+{\frac {c}{a}}\right)}\\&=a{\left({\left(X+{\frac {b}{2a}}\right)}^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}\right)}\\&=a{\left({\left(X+{\frac {b}{2a}}\right)}^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\right)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c565af2824e656933f7fa5673e5300131c282734)
Der rechte Term ist bei
-
![{\displaystyle {}b^{2}-4ac<0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3356cc62f01a9c1ca76b6ffd3fac498cbfdff849)
stets positiv und so hat das Polynom in diesem Fall keine Nullstelle, bei
-
![{\displaystyle {}b^{2}-4ac=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bceec8d3af4ca071fbd0c08373b6b15f2fd234a)
hat es genau die eine angegebene Nullstelle.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Diese Lösungsformel heißt auch Mitternachtsformel. Wenn man zuerst durch
durchdividiert und die quadratische Gleichung in der Form
-
![{\displaystyle {}X^{2}+pX+q=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5dda9c0998a2a855596d58b458c9322e4213421)
vorliegt, so vereinfachen sich die Lösungen zu
-
![{\displaystyle {}x_{1,2}={\frac {\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}-p}{2}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f99f8284126f86868d351328085dbd63ad8ad8b)
Dazu sagt man auch p-q-Formel. Diese Formeln gelten in jedem Körper, in dem
ist. Die Lösbarkeit hängt dann allein davon ab, ob die Diskriminante
eine Quadratwurzel besitzt oder nicht.
Der folgende Satz von Vieta ermöglicht eine sinnvolle Probe für das Ergebnis. Wenn man weiß, dass es ganzzahlige Lösungen geben muss, kann man damit auch häufig die Lösungen der quadratischen Gleichung erraten.
Es sei eine quadratische Gleichung in der Form
-
![{\displaystyle {}x^{2}+px+q=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a77c2ef7e44ea6886a0283ceb39f028473f53a2a)
gegeben und es seien
und
die Lösungen.
Dann gilt
-
![{\displaystyle {}x_{1}+x_{2}=-p\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67ac5dd2746e4546dc0059a53a719498265d60b4)
und
-
![{\displaystyle {}x_{1}\cdot x_{2}=q\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e3ed2a118aadbc6dcd53951d47e00c25363b043)
Aufgrund von
Fakt
ist
-
![{\displaystyle {}x_{1}={\frac {{\sqrt {p^{2}-4q}}-p}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae6b6a0af4e25a9e9c11b47191c83b171f2c9dd9)
und
-
![{\displaystyle {}x_{2}={\frac {-{\sqrt {p^{2}-4q}}-p}{2}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f59124f06f93726adf8199290de4bb2df05bbd)
Daher ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}x_{1}+x_{2}&={\frac {{\sqrt {p^{2}-4q}}-p}{2}}+{\frac {-{\sqrt {p^{2}-4q}}-p}{2}}\\&={\frac {{\sqrt {p^{2}-4q}}-p-{\sqrt {p^{2}-4q}}-p}{2}}\\&={\frac {-2p}{2}}\\&=-p\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fefe3e1b13481eb6ad7b7b1e868678ffe437211)
und
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}x_{1}\cdot x_{2}&={\frac {{\sqrt {p^{2}-4q}}-p}{2}}\cdot {\frac {-{\sqrt {p^{2}-4q}}-p}{2}}\\&={\frac {{\left({\sqrt {p^{2}-4q}}-p\right)}{\left(-{\sqrt {p^{2}-4q}}-p\right)}}{4}}\\&={\frac {-p^{2}+4q+p^{2}}{4}}\\&={\frac {4q}{4}}\\&=q.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/718f7101d838c0c6ee3d19656c45479b24969e1f)
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Von dieser Aussage gilt auch die Umkehrung, siehe
Aufgabe.
Wenn man beispielsweise die Zusatzinformation kennt, dass
-
![{\displaystyle {}X^{2}-7X+6=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e483da5f032792e657c772b10ddc36579ce0409e)
ganzzahlige Lösungen besitzt, so kommen dafür nur die Teiler von
in Frage, und in der Tat sind
und
die beiden Lösungen.