Quadratische Polynome/Gleichungen/Einführung/Textabschnitt

Ein Polynom vom Grad zwei nennt man auch ein quadratisches Polynom. Wir schreiben es in der Form

$a{X}^2+bX+c\text{ mit }a\ne 0.$

Wenn  $a=0$  ist, so fällt der vordere Term weg und es liegt ein lineares, kein quadratisches Polynom vor. Wenn  $b=0$  ist, so spricht man von einem rein-quadratischen Polynom.

Es sei ein quadratisches Polynom über $ℝ$ gegeben. Wir interessieren uns für die Frage, ob das Polynom Nullstellen besitzt und wie diese zu ermitteln sind. Es geht also um Lösungen einer Gleichung der Form

$a{X}^2+bX+c=0.$

Dabei sind $a,b,c$ vorgegeben mit  $a\ne 0$  und gesucht ist  $x\in ℝ$  derart, dass, wenn man die Zahl $x$ für die Variable $X$ einsetzt, sich dann der Wert $0$ ergibt. Wenn  $b=0$  ist, also eine Gleichung der Form

$a{X}^2+c=0$

vorliegt, so geht es einfach um das Ziehen einer Quadratwurzel. Die Gleichung ist ja äquivalent zu

$X^2=-\frac{c}{a}.$

Wenn die Zahl rechts negativ ist, so gibt es keine Lösung. Wenn die Zahl rechts $0$ ist (was bei $c=0$ der Fall ist), so gibt es die einzige Lösung $\{0\}$. Wenn die Zahl rechts positiv ist, so gibt es zwei Lösungen, nämlich $\{\sqrt{-\frac{c}{a}},-\sqrt{-\frac{c}{a}}\}$. In einem beliebigen Körper geht es um die Frage, ob $-\frac{c}{a}$ eine Quadratwurzel besitzt oder nicht.

Für die Gleichung

$a{X}^2+bX=0,$

wo also  $c=0$  ist, kann man sofort die Lösungen angeben, nämlich  $x_1=0$  und  $x_2=-\frac{b}{a}$. 

Für die allgemeine quadratische Gleichung

$a{X}^2+bX+c=0$

gibt es einen wichtigen Trick, sie auf eine rein-quadratische Form zurückzuführen und sie damit durch Wurzelziehen zu lösen, das sogenannte quadratische Ergänzen. Zunächst dividiert man durch $a$ und erhält die äquivalente Gleichung

$X^2+\frac{b}{a}X+\frac{c}{a}=0.$

Das nennt man auch eine normierte Gleichung, da links ein normiertes Polynom steht. Wir schreiben diese Gleichung mit

$p=\frac{b}{a}$

und

$q=\frac{c}{a}$

als

$X^2+pX+q=0.$

Dieses Polynom schreiben wir nun scheinbar komplizierter als

$X^2+pX+q={(X+\frac{p}{2})}^2-\frac{p^2}{4}+q.$

Durch Ausmultiplizieren der rechten Seite mit Hilfe der ersten binomischen Formel sieht man, dass die Terme links und rechts übereinstimmen. Der Gewinn ist dabei, dass $X+\frac{p}{2}$ eine „verschobene Variable“ ist, die wie eine Variable behandelt werden kann, und dass $-\frac{p^2}{4}+q$ eine reelle Zahl ist. Es liegt also im Wesentlichen eine rein-quadratische Gleichung vor. Mit einer Umstellung erhält man

${(X+\frac{p}{2})}^2=\frac{p^2}{4}-q$

und somit

$X+\frac{p}{2}=\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q},$

vorausgesetzt, dass der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen nichtnegativ ist. Als Lösung erhält man dann

$X=\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}-\frac{p}{2}=\frac{\pm \sqrt{p^2-4q}-p}{2}.$

Satz

Es sei

$a{X}^2+bX+c=0$

eine reelle quadratische Gleichung.

Dann gilt folgendes Lösungsverhalten

1. Bei

   $b^2-4ac<0$

   gibt es keine reelle Lösung.

2. Bei

   $b^2-4ac=0$

   gibt es die eine Lösung

   $x=\frac{-b}{2a}$

3. Bei

   $b^2-4ac>0$

   gibt es die beiden Lösungen

   $x_{1,2}=\frac{\pm \sqrt{b^2-4ac}-b}{2a}.$

Beweis

Die Lösung in (2) ist ein Spezialfall von (3), in dem die beiden Lösungen zusammenfallen. Wir zeigen explizit, dass in der Tat Lösungen vorliegen. Es ist

$\begin{array}{cc}a{\left(\frac{\pm \sqrt{b^2-4ac}-b}{2a}\right)}^2+b\left(\frac{\pm \sqrt{b^2-4ac}-b}{2a}\right)+c& =a\frac{b^2-4ac+\mp 2b\sqrt{b^2-4ac}+b^2}{4a^2}+\frac{\pm b\sqrt{b^2-4ac}-b^2}{2a}+c\\ & =\frac{b^2-4ac+\mp 2b\sqrt{b^2-4ac}+b^2\pm 2b\sqrt{b^2-4ac}-2b^2+4ac}{4a}\\ & =0.\end{array}$

Da eine quadratische Gleichung nur maximal zwei Lösungen besitzt, sind wir im dritten Fall fertig.

Im Allgemeinen schreiben wir

$\begin{array}{cc}a{X}^2+bX+c& =a(X^2+\frac{b}{a}X+\frac{c}{a})\\ & =a({(X+\frac{b}{2a})}^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a})\\ & =a({(X+\frac{b}{2a})}^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}).\end{array}$

Der rechte Term ist bei

$b^2-4ac<0$

stets positiv und so hat das Polynom in diesem Fall keine Nullstelle, bei

$b^2-4ac=0$

hat es genau die eine angegebene Nullstelle.

$◻$

Diese Lösungsformel heißt auch Mitternachtsformel. Wenn man zuerst durch $a$ durchdividiert und die quadratische Gleichung in der Form

$X^2+pX+q=0$

vorliegt, so vereinfachen sich die Lösungen zu

$x_{1,2}=\frac{\pm \sqrt{p^2-4q}-p}{2}.$

Dazu sagt man auch p-q-Formel. Diese Formeln gelten in jedem Körper, in dem  $2\ne 0$  ist. Die Lösbarkeit hängt dann allein davon ab, ob die Diskriminante $b^2-4ac$ eine Quadratwurzel besitzt oder nicht.

Beispiel

Wir betrachten die quadratische Gleichung

$x^2+4x-3=0.$

Nach Fakt sind

$x_1=\frac{\sqrt{16+12}-4}{2}=\frac{\sqrt{28}-4}{2}=\frac{2\sqrt{7}-4}{2}=\sqrt{7}-2$

und

$x_2=\frac{-\sqrt{16+12}-4}{2}=\frac{-\sqrt{28}-4}{2}=\frac{-2\sqrt{7}-4}{2}=-\sqrt{7}-2$

die Lösungen.

Beispiel

Bauer Ernst möchte ein neues quadratisches Beet für Melonen anlegen. Die Anlage des Beetes kostet pro Quadratmeter $20$ Euro. Das Beet muss mit einem Schneckenzaun rundum versehen werden, der pro Meter $8$ Euro koste. Ernst möchte $300$ Euro insgesamt investieren. Wie groß wird das Beet?

Es sei $x$ die Seitenlänge des Beetes. Die Kosten sind dann $20x^2+4\cdot 8x$, was zur Gleichung

$20x^2+32x=300$

bzw.

$20x^2+32x-300=0$

führt. Nach Fakt führt dies auf

$x=\frac{\sqrt{1024+24000}-32}{40}=\frac{\sqrt{25024}-32}{40}\sim \frac{158,19-32}{40}\sim 3,155.$

Die Seitenlänge des Beetes ist also ungefähr $3,155$ Meter.

François Viète (1540-1603)

Der folgende Satz von Vieta ermöglicht eine sinnvolle Probe für das Ergebnis. Wenn man weiß, dass es ganzzahlige Lösungen geben muss, kann man damit auch häufig die Lösungen der quadratischen Gleichung erraten.

Lemma

Es sei eine quadratische Gleichung in der Form

$x^2+px+q=0$

gegeben und es seien $x_1$ und $x_2$ die Lösungen.

Dann gilt

$x_1+x_2=-p$

und

$x_1\cdot x_2=q.$

Beweis

Aufgrund von Fakt ist

$x_1=\frac{\sqrt{p^2-4q}-p}{2}$

und

$x_2=\frac{-\sqrt{p^2-4q}-p}{2}.$

Daher ist

$\begin{array}{cc}{x}_1+x_2& =\frac{\sqrt{p^2-4q}-p}{2}+\frac{-\sqrt{p^2-4q}-p}{2}\\ & =\frac{\sqrt{p^2-4q}-p-\sqrt{p^2-4q}-p}{2}\\ & =\frac{-2p}{2}\\ & =-p\end{array}$

und

$\begin{array}{cc}{x}_1\cdot x_2& =\frac{\sqrt{p^2-4q}-p}{2}\cdot \frac{-\sqrt{p^2-4q}-p}{2}\\ & =\frac{(\sqrt{p^2-4q}-p)(-\sqrt{p^2-4q}-p)}{4}\\ & =\frac{-p^2+4q+p^2}{4}\\ & =\frac{4q}{4}\\ & =q.\end{array}$

$◻$

Von dieser Aussage gilt auch die Umkehrung, siehe Aufgabe. Wenn man beispielsweise die Zusatzinformation kennt, dass

$X^2-7X+6=0$

ganzzahlige Lösungen besitzt, so kommen dafür nur die Teiler von $6$ in Frage, und in der Tat sind $1$ und $6$ die beiden Lösungen.