Quadratischer Zahlbereich/D ist -19/ist faktoriell/nicht euklidisch/Beispiel

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Sei der quadratische Zahlbereich zu , also bzw.

Wir wissen aufgrund von Fakt, dass nicht euklidisch ist. Dennoch ist faktoriell und nach Fakt ein Hauptidealbereich und die Klassengruppe ist trivial. Hierfür benutzen wir Fakt, d.h. wir haben für alle Primzahlen zu zeigen, dass sie eine Primfaktorzerlegung in besitzen. Diese Abschätzung wird nur von erfüllt. Für ist der Restklassenring

ein Körper, so dass träge in ist und insbesondere eine Primfaktorzerlegung besitzt.