Wir behaupten, dass im
quadratischen Zahlbereich
das Ideal
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kein
Hauptideal
ist, was in
Beispiel
gezeigt wurde, aber die Eigenschaft besitzt, dass das Quadrat davon ein Hauptideal ist. Insbesondere definiert die zugehörige
Idealklasse
ein von verschiedenes Element in der Divsorenklassengruppe mit der Eigenschaft, dass das Doppelte davon trivial ist. Es ist
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Dabei ist die Inklusion klar und die umgekehrte Inklusion ergibt sich aus
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Wir betrachten nun das Ideal
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Der Restklassenring ist
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sodass ein Primideal mit der Norm vorliegt, das kein Hauptideal ist, da es kein Element mit Norm gibt. Die beiden Ideale
und
definieren die gleiche Idealklasse. Dazu betrachten wir die Multiplikation
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Wegen
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und
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induziert dies einen injektiven
-Modulhomomorphismus
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der wegen
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auch surjektiv ist. Somit ist
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In
Beispiel
wird darüber hinaus gezeigt, dass die Klassengruppe von gleich ist.