Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Quadrat des Standardideals/Beispiel

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Wir behaupten, dass im quadratischen Zahlbereich das Ideal

kein Hauptideal ist, aber die Eigenschaft besitzt, dass das Quadrat davon ein Hauptideal ist. Insbesondere definiert die zugehörige Idealklasse ein von verschiedenes Element in der Divsorenklassengruppe mit der Eigenschaft, dass das Doppelte davon trivial ist. Es ist

Dabei ist die Inklusion klar und die umgekehrte Inklusion ergibt sich aus

Wir betrachten nun das Ideal

Der Restklassenring ist

so dass ein Primideal mit der Norm vorliegt, das kein Hauptideal ist, da es kein Element mit Norm gibt. Die beiden Ideale und definieren die gleiche Idealklasse. Dazu betrachten wir die Multiplikation

Wegen

und

induziert dies einen injektiven -Modulhomomorphismus

der wegen

auch surjektiv ist. Somit ist der Quotient der Ideale ein Hauptideal. In Beispiel wird darüber hinaus gezeigt, dass die Klassengruppe gleich ist.