Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Standardideal/Induzierte quadratische Form/Beispiel

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich ${}R$ zu ${}D=-5$ das Ideal

$(2,1+{\sqrt {-5}}),$

wobei die Erzeuger zugleich eine ${}\mathbb {Z}$-Basis sind. Die Norm dieses Ideals ist ${}2$ und die durch die Norm gegebene quadratische Form hat bezüglich dieser Basis die Gestalt

$4x^{2}+4xy+6y^{2}.$

Durch Vereinfachung im Sinne von Fakt, also Division durch die Norm des Ideals, gelangt man zur quadratischen Form

$2x^{2}+2xy+3y^{2}$

mit der Diskriminante

${}4-4\cdot 2\cdot 3=-20=4(-5)\,.$

Diese Form ist nicht zur Hauptfrom der Diskriminante ${}-20$ aquivalent, denn diese ist ${}x^{2}+5y^{2}$. Letztere stellt beispielsweise den Wert ${}5$ dar, erstere nicht.