Quadratischer Zahlbereich/Gitter-Einbettungen/Einführung/Bemerkung

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Sei quadratfrei und der zugehörige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante . Wir wollen ein von verschiedenes Ideal aus als ein (vollständiges) Gitter in auffassen. Bei , also im imaginär-quadratischen Fall, verwenden wir die natürliche Einbettung

Wir identifizieren also das Ideal mit seinem Bild unter diesen Inklusionen. Dem Element entspricht in der reellen Ebene das Element .

Bei , also im reell-quadratischen Fall, verwenden wir stattdessen die Einbettung

Man beachte, dass in der zweiten Komponente die Wurzel mitgeschleppt wird, und dass diese Abbildung lediglich eine -lineare Abbildung ist, während im imaginär-quadratischen Fall ein Ringhomomorphismus nach vorliegt.

Das Ideal sei nun (bei positivem oder negativem ) durch die -Basis erzeugt, mit und mit wie in Fakt beschrieben. Hierbei sei die übliche -Basis von , also bzw. . Das Basiselement wird auf bzw. auf geschickt. Daher wird das zum Ideal gehörige Gitter (in ) durch

und

aufgespannt.