Es sei
quadratfrei
und
der zugehörige
quadratische Zahlbereich
mit
Diskriminante
. Wir wollen ein von
verschiedenes
Ideal
aus
als ein
(vollständiges)
Gitter
in
auffassen. Bei
,
also im imaginär-quadratischen Fall, verwenden wir die natürliche Einbettung
-
![{\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq A_{D}\subset L=\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]\subset \mathbb {C} \cong \mathbb {R} ^{2}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f72c15e771426bcedeb587d118485f476835529)
Wir identifizieren also das Ideal mit seinem Bild unter diesen Inklusionen. Dem Element
entspricht in der reellen Ebene das Element
.
Bei
,
also im reell-quadratischen Fall, verwenden wir stattdessen die Einbettung
-
Man beachte, dass in der zweiten Komponente die Wurzel
mitgeschleppt wird, und dass diese Abbildung lediglich eine
-lineare Abbildung ist, während im imaginär-quadratischen Fall ein
Ringhomomorphismus
nach
vorliegt.
Das Ideal
sei nun
(bei positivem oder negativem
)
durch die
-Basis
erzeugt, mit
und mit
wie in
Fakt
beschrieben. Hierbei sei
die übliche
-Basis von
, also
bzw.
.
Das Basiselement
wird auf
bzw. auf
geschickt. Daher wird das zum Ideal gehörige Gitter
(in
)
durch
-
und
-
aufgespannt.