Quadratischer Zahlbereich/Gitter-Einbettungen/Einführung/Bemerkung

Es sei ${}D\neq 0,1$ quadratfrei und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante ${}\triangle$ . Wir wollen ein von ${}0$ verschiedenes Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ aus ${}A_{D}$ als ein (vollständiges) Gitter ${}\Gamma _{\mathfrak {a}}$ in ${}\mathbb {R} ^{2}$ auffassen. Bei ${}D<0$ , also im imaginär-quadratischen Fall, verwenden wir die natürliche Einbettung

{}{\mathfrak {a}}\subseteq A_{D}\subset L=\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]\subset {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}\,.

Wir identifizieren also das Ideal mit seinem Bild unter diesen Inklusionen. Dem Element ${}q_{1}+q_{2}{\sqrt {D}}$ entspricht in der reellen Ebene das Element ${}(q_{1},q_{2}{\sqrt {-D}})=(q_{1},q_{2}{\sqrt {\vert {D}\vert }})$ .

Bei ${}D>0$ , also im reell-quadratischen Fall, verwenden wir stattdessen die Einbettung

L=\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,q_{1}+q_{2}{\sqrt {D}}\longmapsto (q_{1},q_{2}{\sqrt {D}}).

Man beachte, dass in der zweiten Komponente die Wurzel ${}{\sqrt {D}}$ mitgeschleppt wird, und dass diese Abbildung lediglich eine ${}\mathbb {Q}$ -lineare Abbildung ist, während im imaginär-quadratischen Fall ein Ringhomomorphismus nach ${}{\mathbb {C} }$ vorliegt.

Das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ sei nun (bei positivem oder negativem ${}D$ ) durch die ${}\mathbb {Z}$ -Basis ${}(a,b)$ erzeugt, mit ${}(a)=\mathbb {Z} \cap {\mathfrak {a}}$ und mit ${}b=\alpha +\beta \omega$ wie in Fakt beschrieben. Hierbei sei ${}1,\omega$ die übliche ${}\mathbb {Z}$ -Basis von ${}A_{D}$ , also ${}\omega ={\sqrt {D}}$ bzw. ${}\omega ={\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ . Das Basiselement ${}\omega$ wird auf ${}(0,{\sqrt {\vert {D}\vert }})$ bzw. auf ${}{\left({\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{2}}\right)}$ geschickt. Daher wird das zum Ideal gehörige Gitter ${}\Gamma _{\mathfrak {a}}$ (in ${}\mathbb {R} ^{2}$ ) durch