Quadratischer Zahlbereich/Gitter-Einbettungen/Masche und Diskriminante/Fakt/Beweis

Beweis

Das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ sei durch die ${}\mathbb {Z}$-Basis ${}(a,b)$ mit  ${}(a)=\mathbb {Z} \cap {\mathfrak {a}}$  und

${}b=\alpha +\beta u\,$

erzeugt, wie in Fakt beschrieben. In Bemerkung wurde die zugehörige Gitterbasis ausgerechnet. Der Flächeninhalt eines Gitters wird gegeben durch den Betrag der Determinante von zwei Basiselementen des Gitters. Daher ist bei  ${}D=2,3\mod 4$ 

${}\mu (\Gamma _{\mathfrak {a}})=\vert {\det {\begin{pmatrix}a&\alpha \\0&\beta {\sqrt {\vert {D}\vert }}\end{pmatrix}}}\vert =a\beta {\sqrt {\vert {D}\vert }}=a\beta {\frac {\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}{2}}={\frac {1}{2}}N({\mathfrak {a}}){\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}\,,$

wobei wir Fakt und die Diskriminantengleichung  ${}\triangle =4D$  benutzt haben.

Bei  ${}D=1\mod 4$  ist

${}\mu (\Gamma _{\mathfrak {a}})=\vert {\det {\begin{pmatrix}a&\alpha +{\frac {\beta }{2}}\\0&{\frac {\beta {\sqrt {\vert {D}\vert }}}{2}}\end{pmatrix}}}\vert ={\frac {a\beta }{2}}{\sqrt {\vert {D}\vert }}={\frac {1}{2}}N({\mathfrak {a}}){\sqrt {\vert {\triangle }\vert }}\,$

aus den gleichen Gründen.

Zur bewiesenen Aussage