Quasiaffines Schema/Modul/Cech-Komplex/Beispiel

Für einen kommutativen Ring und Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$, die das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ erzeugen, hat man eine offene Überdeckung ${}D({\mathfrak {a}})=\bigcup _{i=1}^{n}D(f_{i})$ des quasiaffinen Schemas ${}D({\mathfrak {a}})\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. Zu einem ${}R$-Modul ${}M$ kann man den Čech-Komplex zur Modulgarbe ${}{\widetilde {M}}$ auf ${}D({\mathfrak {a}})$ direkt hinschreiben, ohne dass man den Vergarbungsprozess beachten muss. Für die relevanten offenen Mengen ist ja

${}\Gamma {\left(D(\prod _{i\in J}f_{i}),{\widetilde {M}})\right)}=M_{\prod _{i\in J}f_{i}}\,$

wegen Fakt. Der Čech-Komplex ist somit gleich

$0\longrightarrow \prod _{1\leq i\leq n}M_{f_{i}}\longrightarrow \prod _{1\leq i<j\leq n}M_{f_{i}f_{j}}\longrightarrow \prod _{1\leq i<j<k\leq n}M_{f_{i}f_{j}f_{k}}\longrightarrow \ldots .$

Die Berechnung der Homologien dieses Komplexes ist im Allgemeinen immer noch schwierig, aber allein ein Problem der kommutativen Algebra.