R^n/Borel-Lebesgue-Maß/Charakterisierung mit Translationsinvarianz/Fakt/Beweis

Beweis

Das Borel-Lebesgue-Maß ${}\lambda ^{n}$ erfüllt nach Fakt diese Bedingungen. Es sei ${}\mu$ ein solches Maß. Nach Fakt ist es egal, ob diese Bedingung an den abgeschlossenen, den offenen oder einen halboffenen Einheitswürfel gestellt wird. Wir werden durchgehend mit rechtsseitig offenen Quadern arbeiten. Da der ${}\mathbb {R} ^{n}$ durch abzählbar viele Verschiebungen des Einheitswürfels überdeckt wird, die wegen der Translationsinvarianz von ${}\mu$ alle das gleiche Maß besitzen, ist ${}\mu$ ${}\sigma$-endlich. Wir müssen zeigen, dass ${}\mu$ mit ${}\lambda ^{n}$ übereinstimmt, wobei es aufgrund des Eindeutigkeitssatzes genügt, die Gleichheit auf einem durchschnittsstabilen Erzeugendensystem für die Borelmengen nachzuweisen. Ein solches System bilden die Quader der Form ${}[a_{1},b_{1}[\times \cdots \times [a_{n},b_{n}[$ mit rationalen Ecken. Wegen der Translationsinvarianz von ${}\mu$ besitzt ein solcher Quader das gleiche Maß wie der verschobene Quader ${}[0,b_{1}-a_{1}[\times \cdots \times [0,b_{n}-a_{n}[$. Wir schreiben einen solchen Quader unter Verwendung eines Hauptnenners als ${}Q=[0,{\frac {c_{1}}{m}}[\times \cdots \times [0,{\frac {c_{n}}{m}}[$ mit ${}m,c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {N}$. Dieser Quader setzt sich disjunkt aus ${}c_{1}\cdots c_{n}$ Quadern (nämlich ${}[{\frac {i_{1}}{m}},{\frac {i_{1}+1}{m}}[\times \cdots \times [{\frac {i_{n}}{m}},{\frac {i_{n}+1}{m}}[$ mit ${}i_{j}\in \{0,\ldots ,c_{j}-1\}$) zusammen, die alle das gleiche ${}\mu$-Maß haben, da sie ineinander verschoben werden können. Das ${}\mu$-Maß des Quaders ${}Q$ ist also das ${}c_{1}\cdots c_{n}$-fache des ${}\mu$-Maßes des Quaders ${}{\tilde {Q}}=[0,{\frac {1}{m}}[\times \cdots \times [0,{\frac {1}{m}}[$. Da sich der Einheitswürfel aus ${}m^{n}$ verschobenen Kopien dieses kleineren Würfels zusammensetzt, muss ${}\mu ({\tilde {Q}})={\frac {1}{m^{n}}}$ und damit

${}\mu (Q)=c_{1}\cdots c_{n}\cdot {\frac {1}{m^{n}}}=\lambda ^{n}(Q)\,$

sein.

Zur bewiesenen Aussage