R^n/Offene Menge/Riemannsche Struktur/Zusammenhang aus Christoffel-Symbole/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Es ist

   ${}D_{\partial _{k}}\left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle =\partial _{k}{\left(g_{ij}\right)}\,.$

   Ferner ist

   ${}{\begin{aligned}\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle &=\left\langle \sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{ij}^{\ell }\,\partial _{\ell },\partial _{k}\right\rangle \\&=\sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{ij}^{\ell }\left\langle \,\partial _{\ell },\partial _{k}\right\rangle \\&=\sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{ij}^{\ell }g_{\ell k}\\&={\frac {1}{2}}\sum _{\ell =1}^{n}{\left(\sum _{r=1}^{n}g^{\ell r}{\left(\partial _{i}g_{jr}+\partial _{j}g_{ir}-\partial _{r}g_{ij}\right)}\right)}g_{\ell k}\\&={\frac {1}{2}}\sum _{r=1}^{n}{\left(\partial _{i}g_{jr}+\partial _{j}g_{ir}-\partial _{r}g_{ij}\right)}{\left(\sum _{\ell =1}^{n}g^{\ell r}g_{\ell k}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ik}-\partial _{k}g_{ij}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(D_{\partial _{i}}\left\langle \partial _{j},\partial _{k}\right\rangle +D_{\partial _{j}}\left\langle \partial _{i},\partial _{k}\right\rangle -D_{\partial _{k}}\left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle \right)}.\end{aligned}}$

2. Da die Lie-Klammern ${}[\partial _{i},\partial _{j}]$ auf ${}U$ trivial sind, gilt die Koszul-Formel für die Basisfelder ${}\partial _{i}$ nach Teil (1). Für den allgemeinen Fall siehe Aufgabe.
3. Nach Fakt und wegen ${}[\partial _{i},\partial _{j}]=0$ ist

   ${}\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\nabla _{\partial _{j}}\partial _{i}\,.$

   Daraus folgt die Aussage mit Aufgabe.

4. Nach Teil (1) ist

   ${}{\begin{aligned}\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle +\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{k},\partial _{j}\right\rangle &={\frac {1}{2}}{\left(D_{\partial _{i}}\left\langle \partial _{j},\partial _{k}\right\rangle +D_{\partial _{j}}\left\langle \partial _{i},\partial _{k}\right\rangle -D_{\partial _{k}}\left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle +D_{\partial _{i}}\left\langle \partial _{k},\partial _{j}\right\rangle +D_{\partial _{k}}\left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle -D_{\partial _{j}}\left\langle \partial _{i},\partial _{k}\right\rangle \right)}\\&=D_{\partial _{i}}\left\langle \partial _{j},\partial _{k}\right\rangle .\end{aligned}}$

   Daraus folgt die Aussage mit Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage