R^n/Offene Menge/Riemannsche Struktur/Zusammenhang aus Christoffel-Symbole/Koszul-Eigenschaft/Allgemein/Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei darauf eine riemannsche Struktur durch die Funktionen ${}{\left(g_{ij}\right)}$ gegeben mit der inversen Matrix ${}{\left(g^{kl}\right)}$. Es sei ${}\nabla$ der durch die Christoffelsymbole

${}\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}\sum _{l=1}^{n}g^{kl}(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij})\,$

gegebene lineare Zusammenhang, der durch

${}\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}\,\partial _{k}\,$

gekennzeichnet ist. Zeige in zwei Schritten, dass ${}\nabla$ die Koszul-Formel aus Fakt erfüllt.

1. Für die Basisfelder ${}\partial _{i}$.
2. Für beliebige Vektorfelder ${}V,W,Z$.

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