R^n/Offene Menge/Riemannsche Struktur/Zusammenhang aus Christoffel-Symbole/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei darauf eine riemannsche Struktur durch die Funktionen ${}{\left(g_{ij}\right)}$ gegeben mit der inversen Matrix ${}{\left(g^{kl}\right)}$. Es sei ${}\nabla$ der durch die Christoffelsymbole

${}\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}\sum _{l=1}^{n}g^{kl}(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij})\,$

gegebene Levi-Civita-Zusammenhang, der durch

${}\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}\,\partial _{k}\,$

gekennzeichnet ist. Dann erfüllt ${}\nabla$ die folgenden Eigenschaften.

1. Es ist

   $\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(D_{\partial _{i}}\left\langle \partial _{j},\partial _{k}\right\rangle +D_{\partial _{j}}\left\langle \partial _{i},\partial _{k}\right\rangle -D_{\partial _{k}}\left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle \right)}\,.$

2. Er erfüllt die Koszul-Formel aus Fakt.
3. Er ist torsionsfrei.
4. Er ist metrisch.

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