Rationale Zahlen/Brüche/Rechenoperationen/Einführung/Textabschnitt

Eine über ${}\mathbb {Z}$ formulierte Gleichung der Form

${}bx=a\,$

mit ${}a,b\in \mathbb {Z}$ soll bei ${}b\neq 0$ eine eindeutige Lösung besitzen, nämlich ${}{\frac {a}{b}}$. Um dies formulieren zu können, müssen wir natürlich erstmal eine Multiplikation und eine Addition auf den rationalen Zahlen definieren. Bei gleichnamigen Nenner addiert man einfach die Zähler, auf diesen Fall kann die allgemeine Definition zurückgeführt werden. Mit diesem Übergang, endlich viele rationale Zahlen mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, kann man häufig Rechnungen und auch theoretische Überlegungen vereinfachen.

Definition

Die Addition der rationalen Zahlen ${}x={\frac {a}{b}}$ und ${}y={\frac {c}{d}}$ ist durch

${}{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}:={\frac {ad+bc}{bd}}\,$

definiert.

Man addiert also zwei rationale Zahlen, indem man die Nenner gleichnamig macht. Diese Operation ist wohldefiniert! Was soll das bedeuten? Es gibt hier das folgende Problem, das gerne übersehen wird. Die beiden rationalen Zahlen ${}x$ und ${}y$, die miteinander addiert werden sollen, besitzen unterschiedliche Darstellungen als Brüche, beispielsweise ist

${}x={\frac {a}{b}}={\frac {a'}{b'}}\,$

und

${}y={\frac {c}{d}}={\frac {c'}{d'}}\,.$

In der Definition der Addition kann man mit einer beliebigen Bruchdarstellung arbeiten. Dann ergibt sich einerseits, wenn man jeweils die erste Darstellung nimmt, die Summe

${\frac {ad+bc}{bd}}$

und andererseits, wenn man jeweils die zweite Darstellung nimmt, die Summe

${\frac {a'd'+b'c'}{b'd'}}.$

Es ist nicht unmittelbar klar, dass hier die gleiche rationale Zahl steht. Wegen ${}ab'=a'b$ und ${}cd'=c'd$ ist aber nach Erweitern mit ${}b'd'$ und Kürzen durch ${}bd$

${}{\frac {ad+bc}{bd}}={\frac {adb'd'+bcb'd'}{bdb'd'}}={\frac {a'dbd'+bc'b'd}{bdb'd'}}={\frac {a'd'+b'c'}{b'd'}}\,,$

sodass das Ergebnis als rationale Zahl wohldefiniert ist. Nach der Definition nimmt man für den Nenner das Produkt der beiden Nenner. Man kann aber genauso gut ein beliebiges gemeinsames Vielfaches der beiden Nenner und die entsprechende Erweiterung nehmen. Bei gleichem Nenner ist insbesondere

${}{\frac {a}{r}}+{\frac {b}{r}}={\frac {a+b}{r}}\,.$

Definition

Die Multiplikation von rationalen Zahlen ${}x={\frac {a}{b}}$ und ${}y={\frac {c}{d}}$ ist durch

${}{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}:={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}\,$

definiert.

Auch hier muss man die Wohldefiniertheit der Verknüpfung nachweisen, siehe Aufgabe. Mit der Multiplikation kann man einen Bruch auch als

${}{\frac {a}{b}}=a\cdot {\frac {1}{b}}\,$

schreiben. Bei positivem ${}a$ ist dies die ${}a$-fache Summe des Stammbruches ${}{\frac {1}{b}}$ mit sich selbst.

Bemerkung  

Die Addition von rationalen Zahlen kann man über die Proportionalitäten begründen. Es sei ein proportionaler Zusammenhang ${}\varphi$ durch

${}\varphi (r)=s\,$

und ein weiterer (gleichskaliger) proportionaler Zusammenhang durch

${}\psi (r')=s'\,$

gegeben. Beispielsweise seien (vergleiche Bemerkung) die Übernachtungskosten dadurch beschrieben, dass ${}7$ Tage (und Nächte) ${}320$ Euro kosten und die Verpflegungskosten dadurch beschrieben, dass ${}10$ Tage ${}258$ Euro kosten. Wie kann man die beiden Zusammenhänge sinnvoll addieren, also wie viel kostet Übernachtung und Verpflegung zusammen in einem bestimmten Zeitabschnitt? Die beiden Einzelangaben kann man nur dann sinnvoll miteinander verarbeiten, wenn sie sich auf die gleiche Tagesanzahl beziehen. Dies kann man erreichen, indem man zum Produkt der beiden Tagesanzahlen übergeht. Die Übernachtungskosten sind für ${}70$ Tage gleich ${}320\cdot 10=3200$ und die Verpflegungskosten sind für ${}70$ Tage gleich ${}258\cdot 7=1806$, die Gesamtkosten für ${}70$ Tage sind also ${}5006$ Euro.

Für eine entsprechende Interpretation der Multiplikation von rationalen Zahlen muss man die Hintereinanderschaltung von proportionalen Zusammenhängen wie in Bemerkung betrachten.

Die Addition und die Multiplikation von rationalen Zahlen erfüllen weitere wichtige algebraische Eigenschaften. Letztlich werden diese auf die entsprechenden Gesetzmäßigkeiten von ${}\mathbb {Z}$ zurückgeführt.

Satz

Die rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ erfüllen die folgenden Eigenschaften.

1. Die Addition ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit ${}0$ als neutralem Element. Zu jedem ${}x\in \mathbb {Q}$ gibt es ein ${}y\in \mathbb {Q}$ mit

   ${}x+y=0\,.$

2. Die Multiplikation ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit ${}1$ als neutralem Element. Zu jedem ${}z\in \mathbb {Q}$ , ${}z\neq 0$, gibt es ein ${}w\in \mathbb {Q}$ mit

   ${}z\cdot w=1\,.$

3. Es gilt das Distributivgesetz.

Beweis

1. Die Kommutativität der Addition folgt unmittelbar aus der Definition und der Kommutativität der ganzzahligen Addition und der ganzzahligen Multiplikation. Zum Nachweis der Assoziativität können wir annehmen, dass alle drei beteiligten rationalen Zahlen den gleichen Nenner haben. Es sei also

   $x={\frac {a}{r}},\,y={\frac {b}{r}},\,z={\frac {c}{r}}.$

   Dann ist

   ${}{\left(x+y\right)}+z={\left({\frac {a}{r}}+{\frac {b}{r}}\right)}+{\frac {c}{r}}={\frac {a+b}{r}}+{\frac {c}{r}}={\frac {a+b+c}{r}}=x+{\left(y+z\right)}\,.$

   Ferner ist

   ${}0+{\frac {a}{b}}={\frac {0}{b}}+{\frac {a}{b}}={\frac {0+a}{b}}={\frac {a}{b}}\,.$

   Zu ${}x={\frac {a}{b}}$ betrachtet man ${}y={\frac {-a}{b}}$. Dann ist

   ${}x+y={\frac {a}{b}}+{\frac {-a}{b}}={\frac {a-a}{b}}={\frac {0}{b}}=0\,.$

2. Die Kommutativität und die Assoziativität der Multiplikation ergeben sich unmittelbar aus der Definition und den entsprechenden Eigenschaften der ganzzahligen Verknüpfungen. Die ${}1={\frac {1}{1}}$ hat die Eigenschaft

   ${}1\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {a}{b}}\,,$

   es ist also das neutrale Element der Multiplikation. Zu einer rationalen Zahl ${}z\neq 0$ ist ${}z={\frac {a}{b}}$ mit ${}a,b\neq 0$ (also sowohl der Zähler als auch der Nenner sind von ${}0$ verschieden) und daher ist auch der umgedrehte Bruch

   ${}z={\frac {b}{a}}\,$

   eine rationale Zahl, und es gilt

   ${}{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}={\frac {ab}{ab}}=1\,.$

3. Zum Nachweis des Distributivgesetzes sei

   $x={\frac {a}{r}},\,y={\frac {b}{r}},\,z={\frac {c}{r}}.$

   Damit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes der ganzen Zahlen

   ${}{\begin{aligned}x\cdot (y+z)&={\frac {a}{r}}\cdot {\left({\frac {b}{r}}+{\frac {c}{r}}\right)}\\&={\frac {a}{r}}\cdot {\frac {b+c}{r}}\\&={\frac {a(b+c)}{r^{2}}}\\&={\frac {ab+ac}{r^{2}}}\\&={\frac {ab}{r^{2}}}+{\frac {ac}{r^{2}}}\\&={\frac {a}{r}}\cdot {\frac {b}{r}}+{\frac {a}{r}}\cdot {\frac {c}{r}}\\&=x\cdot y+x\cdot z.\end{aligned}}$

$\Box$

Man nennt ${}{\frac {-a}{b}}$ die negative rationale Zahl zu ${}{\frac {a}{b}}$ und man nennt bei ${}a,b\neq 0$ die Zahl ${}{\frac {b}{a}}$ die inverse rationale Zahl (oder den Kehrwert) zu ${}{\frac {a}{b}}$.