Rationale Zahlen/Brüche/Rechenoperationen/Einführung/Textabschnitt

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Eine über formulierte Gleichung der Form

mit soll bei eine eindeutige Lösung besitzen, nämlich . Um dies formulieren zu können, müssen wir natürlich erstmal eine Multiplikation und eine Addition auf den rationalen Zahlen definieren. Bei gleichnamigen Nenner addiert man einfach die Zähler, auf diesen Fall kann die allgemeine Definition zurückgeführt werden. Mit diesem Übergang, endlich viele rationale Zahlen mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, kann man häufig Rechnungen und auch theoretische Überlegungen vereinfachen.


Definition  

Die Addition der rationalen Zahlen und ist durch

definiert.

Man addiert also zwei rationale Zahlen, indem man die Nenner gleichnamig macht. Diese Operation ist wohldefiniert! Was soll das bedeuten? Es gibt hier das folgende Problem, das gerne übersehen wird. Die beiden rationalen Zahlen und , die miteinander addiert werden sollen, besitzen unterschiedliche Darstellungen als Brüche, beispielsweise ist

und

In der Definition der Addition kann man mit einer beliebigen Bruchdarstellung arbeiten. Dann ergibt sich einerseits, wenn man jeweils die erste Darstellung nimmt, die Summe

und andererseits, wenn man jeweils die zweite Darstellung nimmt, die Summe

Es ist nicht unmittelbar klar, dass hier die gleiche rationale Zahl steht. Wegen und ist aber nach Erweitern mit und Kürzen durch

so dass das Ergebnis als rationale Zahl wohldefiniert ist. Nach der Definition nimmt man für den Nenner das Produkt der beiden Nenner. Man kann aber genauso gut ein beliebiges gemeinsames Vielfaches der beiden Nenner und die entsprechende Erweiterung nehmen. Bei gleichem Nenner ist insbesondere


Definition  

Die Multiplikation von rationalen Zahlen und ist durch

definiert.

Auch hier muss man die Wohldefiniertheit der Verknüpfung nachweisen, siehe Aufgabe. Mit der Multiplikation kann man einen Bruch auch als

schreiben. Bei positivem ist dies die -fache Summe des Stammbruches mit sich selbst.

Bemerkung  

Die Addition von rationalen Zahlen kann man über die Proportionalitäten begründen. Es sei ein proportionaler Zusammenhang durch

und ein weiterer (gleichskaliger) proportionaler Zusammenhang durch

gegeben. Beispielsweise seien (vergleiche Bemerkung) die Übernachtungskosten dadurch beschrieben, dass Tage (und Nächte) Euro kosten und die Verpflegungskosten dadurch beschrieben, dass Tage Euro kosten. Wie kann man die beiden Zusammenhänge sinnvoll addieren, also wie viel kostet Übernachtung und Verpflegung zusammen in einem bestimmten Zeitabschnitt? Die beiden Einzelangaben kann man nur dann sinnvoll miteinander verarbeiten, wenn sie sich auf die gleiche Taganzahl beziehen. Dies kann man erreichen, indem man zum Produkt der beiden Tageanzahlen übergeht. Die Übernachtungskosten sind für Tage gleich und die Verpflegungskosten sind für Tage gleich , die Gesamtkosten für Tage sind also Euro.

Für eine entsprechende Interpretation der Multiplikation von rationalen Zahlen muss man die Hintereinanderschaltung von proportionalen Zusammenhängen wie in Bemerkung betrachten.


Die Addition und die Multiplikation von rationalen Zahlen erfüllen weitere wichtige algebraische Eigenschaften. Letztlich werden diese auf die entsprechenden Gesetzmäßigkeiten von zurückgeführt.



Satz  

Die rationalen Zahlen erfüllen die folgenden Eigenschaften.

  1. Die Addition ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit als neutralem Element. Zu jedem gibt es ein mit
  2. Die Multiplikation ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit als neutralem Element. Zu jedem , , gibt es ein mit
  3. Es gilt das Distributivgesetz.

Beweis  

  1. Die Kommutativität der Addition folgt unmittelbar aus der Definition und der Kommutativität der ganzzahligen Addition und der ganzzahligen Multiplikation. Zum Nachweis der Assoziativität können wir annehmen, dass alle drei beteiligten rationalen Zahlen den gleichen Nenner haben. Sei also

    Dann ist

    Ferner ist

    Zu betrachtet man . Dann ist

  2. Die Kommutativität und die Assoziativität der Multiplikation ergeben sich unmittelbar aus der Definition und den entsprechenden Eigenschaften der ganzzahligen Verknüpfungen. Die hat die Eigenschaft

    es ist also das neutrale Element der Multiplikation. Zu einer rationalen Zahl ist mit (also sowohl der Zähler als auch der Nenner sind von verschieden) ist auch der umgedrehte Bruch

    eine rationale Zahl, und es gilt

  3. Zum Nachweis des Distributivgesetzes sei

    Damit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes der ganzen Zahlen


Man nennt die negative rationale Zahl zu und man nennt bei die Zahl die inverse rationale Zahl (oder den Kehrwert) zu .