Reelle Funktion/Taylor-Formel/(n+1)-mal stetig differenzierbar/Lagrange/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $x \neq a$ fixiert. In Anlehnung an die zu beweisende Aussage betrachten wir zu $r \in ℝ$ den Ausdruck

g_{r} (u) := f (x) - f (u) - f^{'} (u) \cdot (x - u) - \frac{f^{(2)} (u)}{2!} (x - u)^{2} - \dots - \frac{f^{(n)} (u)}{n!} (x - u)^{n} - \frac{r}{(n + 1)!} (x - u)^{n + 1},

den wir als Funktion in $u \in I$ auffassen. Es ist $g_{r} (x) = 0$ und wir wählen $r$ derart, dass $g_{r} (a) = 0$ ist, was möglich ist. Die Funktion

g (u) := g_{r} (u)

ist auf dem Teilintervall $] a, x [\subseteq I$ (bzw. $] x, a [$ , falls $x < a$ ist.) differenzierbar (nach $u$ ) und besitzt an den beiden Intervallgrenzen den Wert $0$ . Nach dem Satz von Rolle gibt es ein $c \in] a, x [$ mit $g^{'} (c) = 0$ .

Aufgrund der Produktregel und der Kettenregel ist (Ableitung nach $u$ )

(\frac{f^{(k)} (u)}{k!} (x - u)^{k}) = \frac{f^{(k + 1)} (u)}{k!} (x - u)^{k} - \frac{f^{(k)} (u)}{(k - 1)!} (x - u)^{k - 1} .

Daher heben sich in der Ableitung von $g$ die meisten Terme weg und es ergibt sich

g^{'} (u) = - \frac{f^{(n + 1)} (u)}{n!} (x - u)^{n} + \frac{r}{n!} (x - u)^{n} .

Aus der Gleichung

0 = g^{'} (c) = - \frac{f^{(n + 1)} (c)}{n!} (x - c)^{n} + \frac{r}{n!} (x - c)^{n}

folgt $r = f^{(n + 1)} (c)$ . Wenn wir dies und $u = a$ in die Anfangsgleichung einsetzen und $g_{r} (a) = 0$ ausnutzen, so ergibt sich die Behauptung.

Zur bewiesenen Aussage