Reelle Funktion/Taylor-Formel/(n+1)-mal stetig differenzierbar/Lagrange/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  ${}x\neq a$  fixiert. In Anlehnung an die zu beweisende Aussage betrachten wir zu  ${}r\in \mathbb {R}$  den Ausdruck

$g_{r}(u):=f(x)-f(u)-f'(u)\cdot (x-u)-{\frac {f^{(2)}(u)}{2!}}(x-u)^{2}-\ldots -{\frac {f^{(n)}(u)}{n!}}(x-u)^{n}-{\frac {r}{(n+1)!}}(x-u)^{n+1}\,,$

den wir als Funktion in  ${}u\in I$  auffassen. Es ist  ${}g_{r}(x)=0$  und wir wählen ${}r$ derart, dass  ${}g_{r}(a)=0$  ist, was möglich ist. Die Funktion

${}g(u):=g_{r}(u)\,$

ist auf dem Teilintervall  ${}{]a,x[}\subseteq I$  (bzw. $]x,a[$, falls ${}x<a$ ist.) differenzierbar (nach ${}u$) und besitzt an den beiden Intervallgrenzen den Wert ${}0$. Nach dem Satz von Rolle gibt es ein  ${}c\in {]a,x[}$  mit  ${}g'(c)=0$. 

Aufgrund der Produktregel und der Kettenregel ist (Ableitung nach ${}u$)

${\left({\frac {f^{(k)}(u)}{k!}}(x-u)^{k}\right)}'={\frac {f^{(k+1)}(u)}{k!}}(x-u)^{k}-{\frac {f^{(k)}(u)}{(k-1)!}}(x-u)^{k-1}\,.$

Daher heben sich in der Ableitung von ${}g$ die meisten Terme weg und es ergibt sich

${}g'(u)=-{\frac {f^{(n+1)}(u)}{n!}}(x-u)^{n}+{\frac {r}{n!}}(x-u)^{n}\,.$

Aus der Gleichung

${}0=g'(c)=-{\frac {f^{(n+1)}(c)}{n!}}(x-c)^{n}+{\frac {r}{n!}}(x-c)^{n}\,$

folgt  ${}r=f^{(n+1)}(c)$.  Wenn wir dies und  ${}u=a$  in die Anfangsgleichung einsetzen und  ${}g_{r}(a)=0$  ausnutzen, so ergibt sich die Behauptung.

Zur bewiesenen Aussage