Reelle Funktion/Taylor-Formel/(n+1)-mal stetig differenzierbar/Lagrange/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Sei fixiert. In Anlehnung an die zu beweisende Aussage betrachten wir zu den Ausdruck

den wir als Funktion in auffassen. Es ist und wir wählen so, dass ist, was möglich ist. Die Funktion ist auf dem Teilintervall (bzw. , falls ist) differenzierbar (nach ) und besitzt an den beiden Intervallgrenzen den Wert . Nach dem Satz von Rolle gibt es ein mit .

Aufgrund der Produktregel und der Kettenregel ist (Ableitung nach )

Daher heben sich in der Ableitung von die meisten Terme weg und es ergibt sich

Aus der Gleichung

folgt . Wenn wir dies und in die Anfangsgleichung einsetzen und ausnutzen, so ergibt sich die Behauptung.

Zur bewiesenen Aussage