Beweis
Sei
fixiert. In Anlehnung an die zu beweisende Aussage betrachten wir zu
den Ausdruck
-
![{\displaystyle g_{r}(u):=f(x)-f(u)-f'(u)\cdot (x-u)-{\frac {f^{(2)}(u)}{2!}}(x-u)^{2}-\ldots -{\frac {f^{(n)}(u)}{n!}}(x-u)^{n}-{\frac {r}{(n+1)!}}(x-u)^{n+1}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f304e5e16ab1203307ec1868fc2e3fdcf942164)
den wir als Funktion in
auffassen. Es ist
und wir wählen
so, dass
ist, was möglich ist. Die Funktion
-
![{\displaystyle {}g(u):=g_{r}(u)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65fa6a18f3c4031da26f2470c146e2b212f9b081)
ist auf dem Teilintervall
(bzw.
, falls
ist.)
differenzierbar
(nach
)
und besitzt an den beiden Intervallgrenzen den Wert
. Nach dem
Satz von Rolle
gibt es ein
mit
.
Aufgrund der
Produktregel
und der
Kettenregel
ist
(Ableitung nach
)
-
![{\displaystyle {\left({\frac {f^{(k)}(u)}{k!}}(x-u)^{k}\right)}'={\frac {f^{(k+1)}(u)}{k!}}(x-u)^{k}-{\frac {f^{(k)}(u)}{(k-1)!}}(x-u)^{k-1}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/315d85e7e7236adb454fe8ad892e1904ceec6a07)
Daher heben sich in der Ableitung von
die meisten Terme weg und es ergibt sich
-
![{\displaystyle {}g'(u)=-{\frac {f^{(n+1)}(u)}{n!}}(x-u)^{n}+{\frac {r}{n!}}(x-u)^{n}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4acd0e1303670244a3259a137ad6986cc4a582f7)
Aus der Gleichung
-
![{\displaystyle {}0=g'(c)=-{\frac {f^{(n+1)}(c)}{n!}}(x-c)^{n}+{\frac {r}{n!}}(x-c)^{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4356e05ef27a07b880882dff3830d96b2b5e617)
folgt
.
Wenn wir dies und
in die Anfangsgleichung einsetzen und
ausnutzen, so ergibt sich die Behauptung.