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Reelle Funktionen/Differenzierbarkeit/Lineare Approximierbarkeit/Textabschnitt

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Wir besprechen eine zur Differenzierbarkeit äquivalente Eigenschaft, die lineare Approximierbarkeit. Diese Formulierung ist in mehrfacher Hinsicht wichtig: Sie erlaubt vergleichsweise einfache Beweise für Rechenregeln für differenzierbare Funktionen, mit ihr kann man die Differenzierbarkeit durch die Stetigkeit einer Abweichungsfunktion auszudrücken, sie liefert ein Modell für Approximierbarkeit durch Polynome von höherem Grad (quadratische Approximation, Taylor-Entwicklung) und sie erlaubt eine Verallgemeinerung auf die höherdimensionale Situation.



Es sei eine Teilmenge, ein Punkt und

eine Funktion.

Dann ist in genau dann differenzierbar, wenn es ein und eine Funktion

gibt mit stetig in und und mit

Wenn differenzierbar ist, so setzen wir

Für die Funktion muss notwendigerweise

gelten, um die Bedingungen zu erfüllen. Aufgrund der Differenzierbarkeit existiert der Limes

und hat den Wert . Dies bedeutet, dass in stetig ist.
Wenn umgekehrt und mit den angegebenen Eigenschaften existieren, so gilt für die Beziehung

Da stetig in ist, muss auch der Limes links für existieren.


Die in diesem Satz formulierte Eigenschaft, die zur Differenzierbarkeit äquivalent ist, nennt man auch die lineare Approximierbarkeit. Die affin-lineare Funktion

heißt dabei die affin-lineare Approximation. Die durch gegebene konstante Funktion kann man als konstante Approximation ansehen.



Es sei eine Teilmenge, ein Punkt und

eine Funktion, die im Punkt differenzierbar sei.

Dann ist stetig in .

Dies folgt direkt aus Fakt.