Reelle Vektorbündel/Topologischer Raum/Äußeres Produkt/Definition

Äußeres Produkt eines Vektorbündels

Zu einem reellen Vektorbündel ${}E$ vom Rang ${}m$ auf einem topologischen Raum ${}X$ mit Trivialisierungen

$\alpha _{i}\colon E{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{m}$

und ${}r\in \mathbb {N}$ nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum

${}G_{i}=U_{i}\times {\left(\bigwedge ^{r}\mathbb {R} ^{m}\right)}\,$

und

$\varphi _{ij}\colon G_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow G_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$

mit

${}\varphi _{ij}:=\bigwedge ^{r}{\left(\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}\right)}\,$

(dabei wird für jeden Basispunkt das ${}r$-te äußere Produkt der linearen Abbildungen genommen) das ${}r$-te äußere Produkt des Vektorbündels ${}E$. Es wird mit ${}\bigwedge ^{r}E$ bezeichnet.