Es sei zuerst kein Intervall. Wenn leer ist, so ist nach Definition nicht zusammenhängend. Es sei also
,
aber kein Intervall. Dann gibt es nach
Aufgabe
und
mit
-
Dann ist die Menge
-
sowohl
offen
als auch
abgeschlossen
in , da man sowohl als Durchschnitt von mit einem offenen Intervall als auch als Durchschnitt mit einem abgeschlossenen Intervall schreiben kann. Wegen
und
ist sie weder
noch ,
also ist nicht zusammenhängend.
Es sei nun ein nichtleeres Intervall und
sei angenommen, dass es eine Teilmenge
mit
gibt, die in sowohl offen als auch abgeschlossen sei. Es sei
und
, .
Wir betrachten das
(abgeschlossene und beschränkte)
Intervall
(ohne Einschränkung sei
)
und setzen
.
Dies ist eine in offene und abgeschlossene Teilmenge von , die wegen
nicht leer ist und wegen
nicht ganz ist. D.h., es genügt, die Behauptung für ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall
zu zeigen und können davon ausgehen, dass es eine offene und abgeschlossene Teilmenge mit
und
gibt. Wir betrachten die reelle Zahl
,
die wegen
Fakt
existiert. Da ein abgeschlossenes Intervall vorliegt, gehört zu und aufgrund von
Fakt
ist
.
Da aber auch offen in ist, gibt es ein
mit
.
Da das Supremum von ist, folgt
. Dies ist ein Widerspruch zu
.