Reelle positive Zahl/Quadratwurzel/Eindeutige Existenz/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Aufgabe kann es maximal zwei Zahlen geben, deren Quadrat gleich ${}c$ ist, und diese Zahlen sind wegen

${}(-x)^{2}=(-1)^{2}x^{2}=x^{2}\,$

negativ zueinander. Es kann also maximal nur eine nichtnegative Quadratwurzel geben. Die Existenz wird durch das babylonische Wurzelziehen gesichert, das eine Intervallschachtelung beschreibt. Nach Fakt legt eine Intervallschachtelung eine eindeutig bestimmte reelle Zahl fest. Nennen wir diese Zahl ${}x$. Wir müssen zeigen, dass diese Zahl in der Tat eine Quadratwurzel von ${}c$ ist, dass also ${}x^{2}=c$ ist. Bei ${}c=0$ ist dies klar, wir nehmen also ${}c>0$ an. Die Intervallgrenzen sind rekursiv (bei einem Startwert ${}x_{0}>0$) durch

${}x_{n+1}={\frac {x_{n}+{\frac {c}{x_{n}}}}{2}}\,$

und ${}{\frac {c}{x_{n+1}}}$ bestimmt und die Folge ${}x_{n}$ konvergiert gegen ${}x$. Dies gilt auch für die „verschobene“ Folge ${}x_{n+1}$. Nach den Rechengesetzen für konvergente Folgen gilt somit

${}x={\frac {x+{\frac {c}{x}}}{2}}\,.$

Dies ergibt

${}x={\frac {c}{x}}\,$

und somit ${}x^{2}=c$.

Zur bewiesenen Aussage