Reelle positive Zahl/Wurzeln/Eindeutige Existenz/Fakt/Beweis2

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Beweis

Wir definieren rekursiv eine Intervallschachtelung , und zwar setzen wir

und eine beliebige reelle Zahl mit . Es seien die Intervallgrenzen bis zum Index bereits definiert, die Intervalle seien ineinander enthalten und es gelte dabei

Wir setzen

und

Dadurch wird eine Grenze beibehalten und die andere Grenze wird durch das arithmetische Mittel der beiden Vorgängergrenzen ersetzt. Insbesondere gelten die angegebenen Eigenschaften für alle Intervalle und es liegt eine Intervallschachtelung vor. Es sei die durch diese Intervallschachtelung gemäß Fakt festgelegte reelle Zahl. Nach Aufgabe gilt

Damit ist nach Fakt  (2)

Wegen der Konstruktion der Intervallgrenzen ist dies nach Fakt sowohl als auch , also ist .