Reelle positive Zahl/Wurzeln/Eindeutige Existenz/Fakt/Beweis2

Beweis

Wir betrachten den Dedekindschen Schnitt ${}(A,B)$ mit

${}A={\left\{q\in \mathbb {Q} _{\geq 0}\mid q^{k}<c\right\}}\cup \mathbb {Q} _{-}\,$

und

${}B={\left\{q\in \mathbb {Q} _{\geq 0}\mid q^{k}\geq c\right\}}\,.$

Die Eigenschaften eines Dedekindschen Schnittes beruhen hierbei darauf, dass ${}\geq$ eine totale Ordnung ist, auf dem Archimedes-Axiom, auf Fakt  (8) und auf dem binomischen Lehrsatz, siehe Aufgabe. Nach Fakt gibt es somit ein ${}x\in \mathbb {R}$ mit

${}A={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q<x\right\}}\,.$

Wir behaupten

${}x^{k}=c\,.$

Dies ergibt sich, da die beiden Annahmen ${}x^{k}<c$ bzw. ${}x^{k}>c$ jeweils zu einem Widerspruch führen.

Zur bewiesenen Aussage