Reelles Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Krümmungsoperator/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}M$ eine zweifach stetige differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei ${}E\rightarrow M$ ein zweifach stetig differenzierbares Vektorbündel über ${}M$ mit einem linearen Zusammenhang ${}\nabla$. Dann erfüllt der Krümmungsoperator die folgenden Eigenschaften.

1. Es ist

   ${}R(V,W)=-R(W,V)\,.$

2. ${}R$ ist additiv in beiden Komponenten.
3. Für eine differenzierbare Funktion ${}f\colon M\rightarrow \mathbb {R}$ ist

   ${}R(fV,W)=fR(V,W)\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen