Reelles Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Krümmungsoperator/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Die Eigenschaften sind lokal in der Mannigfaltigkeit, man kann sie also auf einer offenen Überdeckung nachweisen, wobei die offenen Teilmengen diffeomorph zu offenen Mengen im ${}\mathbb {R} ^{d}$ sind und worauf das Vektorbündel trivial ist. Somit folgt (1) aus Fakt. (2) folgt aus Fakt und aus Fakt. (3) Wir betrachten die lokale Situation mit den Vektorfeldern ${}f\partial _{i}$ und ${}g\partial _{j}$. Es ist

${}R(f\partial _{i},g\partial _{j})=\nabla _{f\partial _{i}}\circ \nabla _{g\partial _{j}}-\nabla _{g\partial _{j}}\circ \nabla _{f\partial _{i}}-\nabla _{[f\partial _{i},g\partial _{j}]}\,.$

Nach Fakt ist

${}[f\partial _{i},g\partial _{j}]=f[\partial _{i},g\partial _{j}]-g\partial _{j}(f)\partial _{i}\,.$

Somit ist für einen Schnitt ${}s$ unter Verwendung von Fakt

${}{\begin{aligned}R(f\partial _{i},g\partial _{j})(s)&=\nabla _{f\partial _{i}}\circ \nabla _{g\partial _{j}}(s)-\nabla _{g\partial _{j}}\circ \nabla _{f\partial _{i}}(s)-\nabla _{[f\partial _{i},g\partial _{j}]}(s)\\&=f\nabla _{\partial _{i}}(\nabla _{g\partial _{j}}(s))-\nabla _{g\partial _{j}}(\nabla _{f\partial _{i}}(s))-\nabla _{f[\partial _{i},g\partial _{j}]-g\partial _{j}(f)\partial _{i}}(s)\\&=f\nabla _{\partial _{i}}(\nabla _{g\partial _{j}}(s))-\nabla _{g\partial _{j}}(f\nabla _{\partial _{i}}(s))-\nabla _{f[\partial _{i},g\partial _{j}]}(s)+\nabla _{g\partial _{j}(f)\partial _{i}}(s)\\&=f\nabla _{\partial _{i}}(\nabla _{g\partial _{j}}(s))-f\nabla _{g\partial _{j}}(\nabla _{\partial _{i}}(s))-g\partial _{j}(f)\nabla _{\partial _{i}}(s)-\nabla _{f[\partial _{i},g\partial _{j}]}(s)+g\partial _{j}(f)\nabla _{\partial _{i}}(s)\\&=f\nabla _{\partial _{i}}(\nabla _{g\partial _{j}}(s))-f\nabla _{g\partial _{j}}(\nabla _{\partial _{i}}(s))-f\nabla _{[\partial _{i},g\partial _{j}]}(s)\\&=fR(\partial _{i},\partial _{j})(s).\end{aligned}}$

Wegen (1) und (2) folgt daraus die Aussage.

Zur bewiesenen Aussage