Reelles Vektorbündel/Trivial/Linearer Zusammenhang/Krümmungsoperator/Beschreibung/Fakt

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ offen und ${}\nabla$ ein linearer Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel ${}E=U\times \mathbb {R} ^{r}$. Es seien ${}\partial _{i}$, ${}1\leq i\leq d$ die Standardvektorfelder und ${}s_{j}$, ${}1\leq j\leq r$ die Standardschnitte in ${}E$.

Dann gilt für den Krümmungsoperator

${}R(\partial _{i},\partial _{j})(s_{k})=\sum _{\ell =1}^{r}R_{ijk}^{\ell }s_{\ell }\,$

mit

${}R_{ijk}^{\ell }={\partial _{i}}\Gamma _{jk}^{\ell }-{\partial _{j}}\Gamma _{ik}^{\ell }+\sum _{a=1}^{r}\Gamma _{jk}^{a}\Gamma _{ia}^{\ell }-\sum _{a=1}^{r}\Gamma _{ik}^{a}\Gamma _{ja}^{\ell }\,,$

wobei die ${}\Gamma _{ik}^{\ell }$ die lokalen Christoffelsymbole des Zusammenhangs bezeichnen.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen