Regulärer Ring/Zweidimensional/Koszul-Auflösung/Beispiel

Es sei ${}R$ ein zweidimensionaler lokaler regulärer Ring mit dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(x,y)$. Dann ist

$0\longrightarrow R{\stackrel {\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}}{\longrightarrow }}R^{2}{\stackrel {(x,y)}{\longrightarrow }}R\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}\longrightarrow 0$

eine freie Auflösung des Restklassenkörpers ${}R/{\mathfrak {m}}$. Dieser besitzt also die projektive Dimension ${}2$. Die einzige Stelle, an der die Exaktheit nicht direkt klar ist, ist für ${}R^{2}$. Es seien ${}(a,b)\in R^{2}$ mit ${}ax+by=0$. Dies bedeutet ${}ax=-by$ und dies bedeutet ${}ax=0$ in ${}R/(y)$. Nach Fakt ist dies ein regulärer Ring der Dimension ${}1$ und ${}x$ erzeugt darin das maximale Ideal. Wegen Fakt ist ${}R/(y)$ ein Integritätsbereich und somit ist dort ${}a=0$. Dies heißt zurückübersetzt nach ${}R$, dass ${}a=cy$ ist. Da ${}y$ ein Nichtnullteiler in ${}R$ ist, folgt ${}b=-cx$ und somit ist

${}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}=c{\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}}\,.$