Residuum/Punktierte Kreisscheibe/Einfache Eigenschaften/Fakt

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  eine offene Teilmenge und  ${}P\in U$  ein Punkt. Dann erfüllt das Residuum die folgenden Eigenschaften.

1. Für eine holomorphe Funktion ${}f$ auf ${}U$ ist

   ${}\operatorname {Res} _{P}\left(f\right)=0\,.$

2. Es ist

   ${}\operatorname {Res} _{P}\left({\frac {1}{z-P}}\right)=1\,.$

3. Für  ${}n\geq 2$  ist

   ${}\operatorname {Res} _{P}\left({\frac {1}{{\left(z-P\right)}^{n}}}\right)=0\,.$

4. Die Abbildung

   ${\left\{f\mid f:U\setminus \{P\}\rightarrow {\mathbb {C} }{\text{ holomorph}}\right\}}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,f\longmapsto \operatorname {Res} _{P}\left(f\right),$

   ist ${}{\mathbb {C} }$-linear.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen