Restklassenring (Z)/Einheit/Charakterisierung/Teilerfremd/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Sind $a$ und $n$ teilerfremd, so gibt es nach Fakt eine Darstellung der $1$, es gibt also ganze Zahlen $r,s$ mit

$ra+sn=1.$

Betrachtet man diese Gleichung modulo $n$, so ergibt sich  $ra=1$  in $\mathbb{Z}/(n)$. Damit ist $a$ eine Einheit mit dem inversen Element  $a^{-1}=r$. 

Ist umgekehrt $a$ eine Einheit in $\mathbb{Z}/(n)$, so gibt es ein  $r\in \mathbb{Z}/(n)$  mit  $ar=1$  in $\mathbb{Z}/(n)$. Das bedeutet aber, dass $ar-1$ ein Vielfaches von $n$ ist, sodass also

$ar-1=sn$

gilt. Dann ist aber wieder  $ar-sn=1$ 

und $a$ und $n$ sind teilerfremd.

Zur gelösten Aufgabe