Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primitive Elemente/Arbeitsblatt

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass ${(\mathbb{Z}/(n))}^{\times }$ zyklisch ist. Zeige, dass die Anzahl der primitiven Elemente gleich $\phi (\phi (n))$ ist, wobei $\phi$ die Eulersche Funktion bezeichnet. Wie groß ist deren Anzahl, wenn ${(\mathbb{Z}/(n))}^{\times }$ nicht zyklisch ist?

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $p$ eine Primzahl und  $r\ge 2$.  Beschreibe explizit die Elemente im Kern der Abbildung

${(\mathbb{Z}/(p^r))}^{\times }⟶{(\mathbb{Z}/(p^{r-1}))}^{\times }.$

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe für die Einheitengruppe $(\mathbb{Z}/(16){)}^{\times }$ explizit einen Isomorphismus zu einem Produkt von (additiven) zyklischen Gruppen an.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme alle primitiven Elemente von $\mathbb{Z}/(27)$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei  $r\ge 3$.  Zeige, dass für jedes Element  $x\in {(\mathbb{Z}/(2^r))}^{\times }$  die Beziehung

$x^{2^{r-2}}=1$

gilt. Dies zeigt erneut, dass diese Gruppen nicht zyklisch sind. Verwende ähnliche Überlegungen wie im Beweis zu Fakt.

Aufgabe * (5 Punkte)

a) Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von $K$ nicht zyklisch unendlich ist.

b) Es sei $R$ ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei sei. Zeige, dass die Einheitengruppe von $R$ nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.