Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primitive Elemente/Arbeitsblatt

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl derart, dass ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ zyklisch ist. Zeige, dass die Anzahl der primitiven Elemente gleich ${}\varphi (\varphi (n))$ ist, wobei ${}\varphi$ die Eulersche Funktion bezeichnet. Wie groß ist deren Anzahl, wenn ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ nicht zyklisch ist?

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}r\geq 2$. Beschreibe explizit die Elemente im Kern der Abbildung

$({\mathbb {Z} }/(p^{r}))^{\times }\longrightarrow ({\mathbb {Z} }/(p^{r-1}))^{\times }.$

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe für die Einheitengruppe ${}({\mathbb {Z} }/(16))^{\times }$ explizit einen Isomorphismus zu einem Produkt von (additiven) zyklischen Gruppen an.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme alle primitiven Elemente von ${}{\mathbb {Z} }/(27)$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}r\geq 3$. Zeige, dass für jedes Element ${}x\in ({\mathbb {Z} }/(2^{r}))^{\times }$ die Beziehung

$x^{2^{r-2}}=1$

gilt. Dies zeigt erneut, dass diese Gruppen nicht zyklisch sind. Verwende ähnliche Überlegungen wie im Beweis zu Fakt.

Aufgabe (5 Punkte)

a) Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${}K$ nicht zyklisch unendlich ist.

b) Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${}R$ nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.