Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primitive Elemente/Arbeitsblatt

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Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine natürliche Zahl derart, dass zyklisch ist. Zeige, dass die Anzahl der primitiven Elemente gleich ist, wobei die Eulersche Funktion bezeichnet. Wie groß ist deren Anzahl, wenn nicht zyklisch ist?


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Primzahl und . Beschreibe explizit die Elemente im Kern der Abbildung


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe für die Einheitengruppe explizit einen Isomorphismus zu einem Produkt von (additiven) zyklischen Gruppen an.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme alle primitiven Elemente von .


Aufgabe (5 Punkte)

Sei . Zeige, dass für jedes Element die Beziehung

gilt. Dies zeigt erneut, dass diese Gruppen nicht zyklisch sind. Verwende ähnliche Überlegungen wie im Beweis zu Fakt.


Aufgabe (5 Punkte)

a) Es sei ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von nicht zyklisch unendlich ist.

b) Es sei ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige, dass die Einheitengruppe von nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.