Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Ungerade Primzahlpotenz/Reduktion/Fakt/Beweis

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Beweis

Die natürliche Abbildung

liefert sofort, dass ein Quadratrest modulo auch ein Quadratrest modulo ist. Wir zeigen zunächst die Umkehrung für Einheiten. Nach Fakt ist die Abbildung

surjektiv und nach Fakt sind die beteiligten Gruppen zyklisch. D.h. ein Erzeuger wird auf einen Erzeuger abgebildet. Insbesondere kann man diese Gruppen so mit additiven zyklischen Gruppen identifizieren, dass der Homomorphismus die den additiven Erzeuger auf die schickt. Dies erreicht man, indem man im folgenden kommutativen Diagramm die Identifikation links mit einem primitiven Element und rechts ebenfalls mit (jetzt aufgefasst in ) stiftet.

Wir schreiben die untere horizontale Abbildung, unter Verwendung des Chinesischen Restsatzes, als

Da überdies und teilerfremd sind, liegt hier insgesamt einfach die Projektion vor.

Die Voraussetzung, dass modulo ein Quadratrest ist, übersetzt sich dahingehend, dass das entsprechende Element (sagen wir ) in ein Vielfaches von ist. D.h. die zweite Komponente, also , ist ein Vielfaches der . Da modulo der ungeraden Zahl jede Zahl ein Vielfaches von ist (da eine Einheit in ist), ist auch die erste Komponente, also , ein Vielfaches von und so muss insgesamt ein Vielfaches der sein.

Sei nun , , und zunächst angenommen, dass ein Quadrat ist. D.h wir können als mit , schreiben, wobei eine Einheit sei. Es ist also in und es ist (sonst steht hier ). Durch Betrachten modulo und modulo sieht man, dass sein muss. Insbesondere ist gerade. Es gilt also und somit können wir schreiben. Kürzen in ergibt , also . Also ist ein quadratischer Rest modulo und nach dem ersten Teil auch modulo .

Die Umkehrung von (2) ist nach der unter (1) bewiesenen Aussage klar.