Die natürliche Abbildung
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liefert sofort, dass ein Quadratrest modulo
auch ein Quadratrest modulo
ist. Wir zeigen zunächst die Umkehrung für Einheiten. Nach
Fakt
ist die Abbildung
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surjektiv und nach
Fakt
sind die beteiligten Gruppen zyklisch. D.h. ein Erzeuger wird auf einen Erzeuger abgebildet. Insbesondere kann man diese Gruppen so mit additiven zyklischen Gruppen identifizieren, dass der Homomorphismus die den additiven Erzeuger
auf die
schickt. Dies erreicht man, indem man im folgenden kommutativen Diagramm die Identifikation links mit einem primitiven Element
und rechts ebenfalls mit
(jetzt aufgefasst in
)
stiftet.
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Wir schreiben die untere horizontale Abbildung, unter Verwendung
des Chinesischen Restsatzes,
als
-
Da überdies
und
teilerfremd sind, liegt hier insgesamt einfach die Projektion
vor.
Die Voraussetzung, dass
modulo
ein Quadratrest ist, übersetzt sich dahingehend, dass das
entsprechende Element
(sagen wir
)
in
ein Vielfaches von
ist. D.h. die zweite Komponente, also
, ist ein Vielfaches der
. Da modulo der ungeraden Zahl
jede Zahl ein Vielfaches von
ist
(da
eine Einheit in
ist),
ist auch die erste Komponente, also
, ein Vielfaches von
und so muss
insgesamt ein Vielfaches der
sein.
Sei nun
,
, und zunächst angenommen, dass
ein Quadrat ist. D.h wir können
als
mit
,
schreiben, wobei
eine Einheit sei. Es ist also
in
und es ist
(sonst steht hier
). Durch Betrachten modulo
und modulo
sieht man, dass
sein muss. Insbesondere ist
gerade. Es gilt also
und somit können wir
schreiben. Kürzen in
ergibt
,
also
. Also ist
ein quadratischer Rest modulo
und nach dem ersten Teil auch modulo
.
Die Umkehrung von (2) ist nach der unter (1) bewiesenen Aussage klar.