Restklassenringe von Z/Körper/Integer/Primzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung
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. Da jede Einheit ein Nichtnullteiler ist, ist jeder Körper insbesondere ein Integritätsbereich.
. Es ist
und dies ist im integren Fall eine Primzahl, wie in
Fakt
gezeigt wurde.
. Sei also eine Primzahl und eine von verschiedene Restklasse. Diese wird durch eine ganze Zahl zwischen
und
repräsentiert. Da prim ist, ist oder aber kein Teiler von . In jedem Fall sind
und
teilerfremd
und nach
Fakt
gibt es eine Darstellung der . D.h. es gibt ganze Zahlen mit
Diese Gleichung gilt auch, wenn man die Restklassenbildung modulo darauf los lässt. Es gilt also
in . Dort ist aber , so dass man den zweiten Summanden ignorieren kann und lediglich
übrig bleibt. Diese Gleichung zeigt, dass eine Einheit ist
(mit als Inversem).