Riemannsche Fläche/Cech-Kohomologie/Motivation/Einführung/Textabschnitt

Für die Garbe der holomorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche ${}X$ haben wir die kurzen exakten Sequenzen

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}\,{\stackrel {d^{a}}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(0,1)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

und

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {M}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {T}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

(siehe Fakt und Fakt) kennen gelernt. Im ersten Fall werden die holomorphen Funktionen in die reell-differenzierbaren Funktionen und im zweiten Fall in die meromorphen Funktionen eingebettet. In beiden Fällen ist die globale Auswertung im Allgemeinen hinten nicht surjektiv. Diese globale Nichtsurjektivität wollen wir systematisch verstehen. Es stellt sich heraus, dass in beiden Fällen die Nichtsurjektivität durch eine einzige Gruppe gemessen wird, die nur von der Strukturgarbe abhängt, nämlich durch die sogenannte erste Kohomologiegruppe ${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$.

Eine wesentliche Idee dazu kann man sich folgendermaßen klar machen. Es sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum ${}X$. Die globale Auswertung

$0\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}$

ist exakt, wobei die hintere Abbildung im Allgemeinen nicht surjektiv ist. Es sei ${}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}$. Aufgrund der Garbensurjektivität gibt es eine offene Überdeckung

${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

und Schnitte ${}s_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {H}}\right)}$, die auf ${}t{|}_{U_{i}}$ abbilden. Die Differenzen ${}s_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}-s_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$ sind somit Schnitte von ${}{\mathcal {G}}$ über ${}U_{i}\cap U_{j}$, die auf ${}0$ in ${}{\mathcal {H}}{\left(U_{i}\cap U_{j}\right)}$ abbilden und daher zu ${}{\mathcal {F}}{\left(U_{i}\cap U_{j}\right)}$ gehören. Wir erhalten also eine Familie ${}r_{ij}=s_{i}-s_{j}\in {\mathcal {F}}{\left(U_{i}\cap U_{j}\right)}$, die allein auf die Garbe ${}{\mathcal {F}}$ und auf die Zweierdurchschnitte der Überdeckung Bezug nimmt. Ferner gilt auf den Dreierdurchschnitten ${}U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}$ die sogenannte Kozykelbeziehung

${}r_{ij}+r_{jk}=s_{i}-s_{j}+(s_{j}-s_{k})=s_{i}-s_{k}=r_{ik}\,$

Dabei handelt es sich um einen ersten Čech-Kozykel in ${}{\mathcal {F}}$.