Riemannsche Fläche/Endliche Abbildung/Punktierte Scheibe/Liftung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}\theta (0)=P$. Über einer geeigneten offenen Scheibenumgebung ${}P\in U$ ist ${}p^{-1}(U)$ nach Fakt die disjunkte Vereinigung von Kreisscheiben ${}V_{1},\ldots ,V_{m}$, wobei die Einschränkungen ${}p{|}_{V_{i}}$ Potenzabbildungen mit dem Bild ${}U$ sind. Wir können ${}W$ durch eine kleinere Scheibenumgebung von ${}0$ ersetzen und annehmen, dass ${}\theta (W)\subseteq U$ ist. Da das Bild ${}{\tilde {\theta }}(W\setminus \{0\})$ zusammenhängend ist, gilt

${}{\tilde {\theta }}(W\setminus \{0\})\subseteq V_{i}=:V\,$

für ein ${}i$. Es liegt also ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}W\setminus \{0\}&{\stackrel {\tilde {\theta }}{\longrightarrow }}&V&\\\downarrow &&\downarrow z^{k}\!\!\!\!\!&\\W&{\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}&U&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

mit Kreisscheiben ${}U,V,W$ vor. Da ${}\vert {{\tilde {\theta }}(w)^{k}}\vert$ für ${}w\in W\setminus \{0\}$ beschränkt ist, ist auch ${}\vert {{\tilde {\theta }}(w)}\vert$ selbst beschränkt und somit gibt es nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz eine eindeutig bestimmte holomorphe Fortsetzung von ${}{\tilde {\theta }}$ nach ${}W$.

Zur bewiesenen Aussage