Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Verzweigungsordnung/Halm/Charakterisierung/Fakt

Es sei $\phi :X\to Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ und $Y$ und sei  $x\in X$.  Es sei

$\vartheta :{𝒪}_{Y,\phi (x)}⟶{𝒪}_{X,x}$

der zugehörige Ringhomomorphismus der Halme. Dann stimmen die folgenden Zahlen überein.

1. Der Verzweigungsindex von $\phi$ in $x$.
2. Der Exponent von $\phi$ einer lokalen Beschreibung von $\phi$ im Sinne von Fakt.
3. Der Verzweigungsindex von $\vartheta$.

Einen Beweis erstellen