Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Verzweigungsordnung/Halm/Charakterisierung/Fakt

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ und sei ${}x\in X$. Es sei

$\vartheta \colon {\mathcal {O}}_{Y,{\varphi (x)}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X,x}$

der zugehörige Ringhomomorphismus der Halme. Dann stimmen die folgenden Zahlen überein.

1. Der Verzweigungsindex von ${}\varphi$ in ${}x$.
2. Der Exponent von ${}\varphi$ einer lokalen Beschreibung von ${}\varphi$ im Sinne von Fakt.
3. Der Verzweigungsindex von ${}\vartheta$.

Einen Beweis erstellen