Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Cech-Kohomologie/Beispiel

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche und $ℒ$ eine invertierbare Garbe auf $X$ . Dies bedeutet, dass es eine offene Überdeckung $X = ⋃_{i \in I} U_{i}$ und Trivialisierungen

φ_{i} : ℒ |_{U_{i}} ⟶ 𝒪_{X} |_{U_{i}}

gibt. Für offene Mengen $U_{i}, U_{j}$ ergeben sich auf $U_{i} \cap U_{j}$ die Übergangsabbildungen

φ_{i} |_{U_{i} \cap U_{j}} \circ φ_{j}^{- 1} |_{U_{i} \cap U_{j}} : 𝒪_{X} |_{U_{i} \cap U_{j}} ⟶ 𝒪_{X} |_{U_{i} \cap U_{j}} .

Diese Isomorphien sind durch Multiplikationen mit holomorphen Einheiten $r_{i j} \in Γ (U_{i} \cap U_{j}, 𝒪_{X}^{\times})$ gegeben. Da die Daten von der einen invertierbaren Garbe $ℒ$ herrühren, gilt dabei die Kozykelbedingung $r_{k j} \cdot r_{j i} = r_{k i}$ , was man auch als $r_{k j} \cdot r_{k i}^{- 1} \cdot r_{j i} = 1$ schreiben kann. Es liegt also ein Čech-Kozykel in der Garbe der holomorphen Einheiten vor. Ein solcher Datensatz $r_{i j}$ legt umgekehrt durch eine Verklebung eine invertierbare Garbe fest.

Wenn die invertierbare Garbe $ℒ$ trivial ist, so gibt es einen globalen $𝒪_{X}$ -Modulisomorphismus $ψ : 𝒪_{X} \to ℒ$ . Dann liegen auf den $U_{i}$ die Isomorphismen

𝒪_{X} |_{U_{i}} \overset{ψ |_{U_{i}}}{⟶} ℒ |_{U_{i}} \overset{φ_{i}}{⟶} 𝒪_{X} |_{U_{i}}

vor, die insgesamt durch Einheiten $s_{i} \in Γ (U_{i}, 𝒪_{X}^{\times})$ festgelegt sind. Für diese gilt die Beziehung

s_{i} \cdot s_{j}^{- 1} = (φ_{i} \circ ψ) \circ {(φ_{j} \circ ψ)}^{- 1} = r_{i j}

für alle $i, j$ . Wenn umgekehrt solche realisierende Einheiten $s_{i}$ gegeben sind, so werden durch

ψ |_{U_{i}} := φ_{i}^{- 1} \circ s_{i}

Modulisomorphismen von $𝒪_{U_{i}}$ nach $ℒ_{U_{i}}$ auf $U_{i}$ festgelegt, die verträglich sind und daher einen globalen Isomorphismus zwischen $𝒪_{X}$ und $ℒ$ festlegen. Eine invertierbare Garbe mit Trivialisierungen auf $U_{i}$ kann man also mit dem Datensatz $(U_{i}, r_{i j})$ , der die Kozykelbedingung erfüllt, identifizieren, wobei ein solcher Datensatz als trivial anzusehen ist, wenn es Einheiten $s_{i}$ mit

r_{i j} = s_{i} \cdot s_{j}^{- 1}

gibt. Diese Situation kann man insgesamt durch den Komplex

\prod_{i \in I} Γ (U_{i}, 𝒪_{X}^{\times}) ⟶ \prod_{i < j} Γ (U_{i} \cap U_{j}, 𝒪_{X}^{\times}) ⟶ \prod_{i < j < k} Γ (U_{i} \cap U_{j} \cap U_{k}, 𝒪_{X}^{\times})

ausdrücken, der einfach der Anfang des Čech-Komplexes ist.