Riemannsche Fläche/Kompakt/Residuensatz/Fakt/Beweis

Beweis

Wir wählen zu jedem Punkt ${}P_{i}$ offene Kartenumgebungen ${}V_{i}$, die zueinander disjunkt und biholomorph zu einer offenen Menge ${}{\tilde {V}}_{i}\subseteq {\mathbb {C} }$ sind. Es sei

${}{\tilde {P}}_{i}\in {\tilde {U}}_{i}\subseteq {\tilde {B}}_{i}\subseteq {\tilde {V}}_{i}\,$

eine offene Kreisscheibe um den Kartenbildpunkt zu ${}P_{i}$ innerhalb von ${}{\tilde {V}}_{i}$. Es sei ${}{\tilde {B}}_{i}$ die abgeschlossene Kreisscheibe zu ${}{\tilde {U}}_{i}$, die ganz innerhalb von ${}{\tilde {V}}_{i}$ sei. Es sei ${}{\tilde {S}}_{i}$ der Kreisrand von ${}{\tilde {B}}_{i}$ und sei ${}{\tilde {\gamma }}$ ein einfacher Durchlauf durch ${}{\tilde {S}}_{i}$ gegen den Uhrzeigersinn. Es seien ${}U_{i},B_{i},S_{i},\gamma _{i}$ die entsprechenden Objekte auf ${}X$. Wir betrachten die abgeschlossene und damit kompakte Untermannigfaltigkeit mit Rand

${}M:=X\setminus \bigcup _{i=1}^{n}U_{i}\,,$

der Rand ist ${}\bigcup _{i=1}^{n}S_{i}$. Die Untermannigfaltigkeit ${}M$ und ihr Rand erben von der riemannschen Fläche die Orientierung. Die ${}1$-Form ${}\omega$ ist auf ${}M$ geschlossen, da dies nach Fakt auf ${}X\setminus D$ gilt. Daher ist der Satz von Stokes anwendbar und ergibt

${}0=\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega =\sum _{i=1}^{n}\int _{\gamma _{i}}\omega =\sum _{i=1}^{n}-2\pi {\mathrm {i} }\cdot \operatorname {Res} _{P_{i}}\left(\omega \right)\,.$

(das Minuszeichen rührt daher, dass die ${}S_{i}$ die Orientierung als Rand von ${}M$ tragen ud nicht als Rand von ${}U_{i}$).

Zur bewiesenen Aussage