Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Charakterisierungen/Fakt

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche. es sei  $D\subseteq X$  eine diskrete Teilmenge und $f:X\setminus D\to ℂ$ eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. $f$ ist eine meromorphe Funktion.
2. Für jedes Kartengebiet  $U\subseteq X$  ist die holomorphe Funktion $f{|}_{(X\setminus D)\cap U}\circ {\alpha }^{-1}{|}_{\alpha (U)\setminus \alpha (D\cap U)}:\alpha (U)\setminus \alpha (D\cap U)\to ℂ$ meromorph.
3. Es gibt eine offene Überdeckung  $X=\bigcup _{i\in I}{U}_i$  mit Kartengebieten $U_i$ derart, dass die holomorphen Funktionen $f{|}_{(X\setminus D)\cap U_i}\circ {\alpha }_i^{-1}{|}_{{\alpha }_i(U_i)\setminus {\alpha }_i(D\cap U_i)}:{\alpha }_i(U_i)\setminus {\alpha }_i(D\cap U_i)\to ℂ$ meromorph sind.

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