Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Charakterisierungen/Fakt

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. es sei ${}D\subseteq X$ eine diskrete Teilmenge und ${}f\colon X\setminus D\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. ${}f$ ist eine meromorphe Funktion.
2. Für jedes Kartengebiet ${}U\subseteq X$ ist die holomorphe Funktion ${}f{|}_{(X\setminus D)\cap U}\circ \alpha ^{-1}{|}_{\alpha (U)\setminus \alpha (D\cap U)}\colon \alpha (U)\setminus \alpha (D\cap U)\rightarrow {\mathbb {C} }$ meromorph.
3. Es gibt eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ mit Kartengebieten ${}U_{i}$ derart, dass die holomorphen Funktionen ${}f{|}_{(X\setminus D)\cap U_{i}}\circ \alpha _{i}^{-1}{|}_{\alpha _{i}(U_{i})\setminus \alpha _{i}(D\cap U_{i})}\colon \alpha _{i}(U_{i})\setminus \alpha _{i}(D\cap U_{i})\rightarrow {\mathbb {C} }$ meromorph sind.

Einen Beweis erstellen