Riemannsche Flächen/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ mit ${}Y$ zusammenhängend. Dann ist die Summe ${}\sum _{x\in \varphi ^{-1}(y)}\operatorname {Verz} {\left(x{|}y\right)}$ konstant, also unabhängig von ${}y\in Y$.
2. Es sei ${}X$ eine kompakte riemannsche Fläche, es sei

   ${}D=\{P_{1},\ldots ,P_{n}\}\subseteq X\,$

   eine endliche Teilmenge in ${}X$ und ${}\omega$ eine holomorphe Differentialform auf ${}X\setminus D$.

   Dann ist

   ${}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Res} _{P_{i}}\left(\omega \right)=0\,.$

3. Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Dann ist die Abel-Jacobi-Abbildung

   $\operatorname {DKG} {\left(X\right)}_{0}\longrightarrow J(X),\,[\sum _{i\in I}P_{i}-\sum _{i\in I}Q_{i}]\longmapsto {\left(\omega \mapsto \sum _{i\in I}\int _{P_{i}}^{Q_{i}}\omega \right)},$

   von der Divisorenklassengruppe auf ${}X$ vom Grad ${}0$ in die Jacobische Varietät ${}J(X)$ ein

   Gruppenisomorphismus.

Zur gelösten Aufgabe