Riemannsche Flächen/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung. Dabei sei ${}Y$ hausdorffsch, lokal wegzusammenhängend und zusammenhängend. Dann ist eine Decktransformation, die einen Fixpunkt besitzt, bereits die Identität.
2. Auf einem komplexen Torus ${}X={\mathbb {C} }/\Gamma$ zu einem Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ sind die holomorphen Differentialformen gleich ${}sdz$ mit ${}s\in {\mathbb {C} }$, wobei ${}dz$ die durch die ${}\Gamma$-invariante Differentialform ${}dz$ auf ${}{\mathbb {C} }$ induzierte Form auf ${}X$ bezeichnet. Insbesondere ist der Raum der holomorphen Differentialformen auf ${}X$ eindimensional.
3. Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht ${}g$ und sei ${}D$ ein Divisor auf ${}X$ mit der zugehörigen invertierbaren Garbe ${}{\mathcal {O}}_{X}(D)$. Dann ist

   ${}h^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))-h^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))=\operatorname {Grad} \,(D)+1-g\,.$

Zur gelösten Aufgabe