Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Verzweigungsdivisor/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Fläche ${}X$ und ${}Y$ mit dem Verzweigungsdivisor ${}R$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Der Verzweigungsdivisor ist in der Tat ein Divisor.
2. Es ist ${}\varphi$ genau in den Punkten des Trägers von ${}R$ verzweigt.
3. Wenn ${}\varphi$ lokal auf offenen Kreisscheiben ${}U\subseteq X$ bzw. ${}V\subseteq Y$ durch eine holomorphe Funktion ${}f\colon U\rightarrow V$ beschrieben wird, so ist für ${}P\in U$ die Ordnung ${}R_{P}$ gleich der Nullstellenordnung von ${}f'$ in ${}P$.

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