Riemannsche Sphäre/Antipodale Punkte/Reell-projektive Ebene/Beispiel

Die Operation der Gruppe ${}\mathbb {Z} /(2)$ auf der Sphäre ${}S^{2}\cong {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, bei der das nichttriviale Element antipodale Punkte ineinander überführt werden, ist fixpunktfrei. Daher liegt nach Fakt eine Überlagerung

$S^{2}\longrightarrow S^{2}/\sim$

vor. Nach Fakt in Verbindung mit Fakt kann diese Operation (also die Antipodenabbildung) nicht holomorph sein. In der Tat ist der Quotient ${}S^{2}/\sim$ keine riemannsche Fläche, sondern die nicht orientierbare reell-projektive Ebene ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {R} }^{2}$, vergleiche Fakt.