Riemannsche Sphäre/Globale holomorphe Differentialformen/Fakt/Beweis

Beweis

Die Projektive Gerade ist nach Beispiel bzw. Fakt die Verklebung von den beiden komplexen Zahlebenen ${}{\mathbb {C} },z$ und ${}{\mathbb {C} },w$ entlang der Identifizierung ${}z=w^{-1}$ auf ${}{\mathbb {C} }^{\times }$. Nach Fakt ist eine holomorphe Differentialform auf dem ersten ${}{\mathbb {C} }$ gleich ${}f(z)dz$ mit einer holomorphen Funktion ${}f$ auf ${}{\mathbb {C} }$. Diese kann man in ${}w$ wegen Aufgabe auf ${}{\mathbb {C} }^{\times }$ als

${}f(z)dz=f(w^{-1})dw^{-1}=-f(w^{-1}){\frac {1}{w^{2}}}dw\,$

schreiben. Dabei ist außer bei ${}f=0$ die beschreibende Funktion in ${}w$ sicher nicht holomorph auf ${}{\mathbb {C} }$.

Zur bewiesenen Aussage