Riemannsche Sphäre/Globale holomorphe Differentialformen/Fakt/Beweis

Beweis

Die Projektive Gerade ist nach Beispiel bzw. Fakt die Verklebung von den beiden komplexen Zahlebenen $ℂ,z$ und $ℂ,w$ entlang der Identifizierung  $z=w^{-1}$  auf ${ℂ}^{\times }$. Nach Fakt ist eine holomorphe Differentialform auf dem ersten $ℂ$ gleich $f(z)dz$ mit einer holomorphen Funktion $f$ auf $ℂ$. Diese kann man in $w$ wegen Aufgabe auf ${ℂ}^{\times }$ als

$f(z)dz=f(w^{-1})d{w}^{-1}=-f(w^{-1})\frac{1}{w^2}dw$

schreiben. Dabei ist außer bei  $f=0$  die beschreibende Funktion in $w$ sicher nicht holomorph auf $ℂ$.

Zur bewiesenen Aussage