Ring/Einheit/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein Element ${}u$ in einem Ring ${}R$ heißt Einheit, wenn es ein Element ${}v\in R$ mit

{}uv=vu=1\,

gibt.

Das Element ${}v$ mit der Eigenschaft ${}uv=vu=1$ ist dabei eindeutig bestimmt. Hat nämlich auch ${}w$ die Eigenschaft ${}uw=wu=1$ , so ist

{}v=v1=v(uw)=(vu)w=1w=w\,.

Das im Falle der Existenz eindeutig bestimmte ${}v$ mit ${}uv=vu=1$ nennt man das (multiplikativ) Inverse zu ${}u$ und bezeichnet es mit

u^{-1}

oder auch mit ${}{\frac {1}{u}}$ . Im kommutativen Fall muss man natürlich nur die Eigenschaft ${}uv=1$ überprüfen. Eine Einheit ist stets ein Nichtnullteiler. Aus ${}ux=0$ folgt ja sofort (unter Verwendung von Fakt (1)) ${}x=u^{-1}ux=0$ .

Definition

Die Einheitengruppe in einem Ring ${}R$ ist die Teilmenge aller Einheiten in ${}R$ . Sie wird mit ${}R^{\times }$ bezeichnet.

Die Menge aller Einheiten in einem Ring bilden in der Tat eine Gruppe (bezüglich der Multiplikation mit ${}1$ als neutralem Element). Wenn nämlich ${}v$ und ${}w$ die Inversen ${}v^{-1}$ und ${}w^{-1}$ haben, so ist das Inverse von ${}vw$ gleich ${}w^{-1}v^{-1}$ und somit ist das Produkt von zwei Einheiten wieder eine Einheit.

Zu einer Einheit ${}u\in R$ machen auch Potenzen mit einem negativen Exponenten Sinn, d.h. es ist dann ${}u^{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {Z}$ definiert. Die Zahl ${}-1$ (also das Negative zu ${}1$ ) ist stets eine Einheit, da ja (nach Fakt (3)) ${}(-1)(-1)=1$ ist. Bei ${}\mathbb {Z}$ besteht die Einheitengruppe aus diesen beiden Elementen, also ${}\mathbb {Z} ^{\times }=\{1,-1\}$ . Die Null ist mit der Ausnahme des Nullrings nie eine Einheit.