Ring/Lineare Algebra/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Eine Menge heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

  1. Axiome der Addition
    1. Assoziativgesetz: Für alle gilt .
    2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
    3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
    4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
  2. Axiome der Multiplikation
    1. Assoziativgesetz: Für alle gilt .
    2. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
  3. Distributivgesetz: Für alle gilt und .


Definition  

Ein Ring heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.

Die wichtigsten kommutativen Ringe sind für uns die Mengen der ganzen Zahlen , die rationalen Zahlen und die reellen Zahlen . Dass all diese Axiome für die reellen Zahlen (und die rationalen Zahlen) mit den natürlichen Verknüpfungen gelten, ist aus der Schule bekannt. Eine axiomatische Begründung ist möglich, wird aber hier nicht durchgeführt. Mit der Addition ist ein Ring insbesondere eine kommutative Gruppe.

In einem Ring gilt die Klammerkonvention, dass die Multiplikation stärker bindet als die Addition (Punktrechnung vor Strichrechnung). Man kann daher statt schreiben. Zur weiteren Notationsvereinfachung wird das Produktzeichen häufig weggelassen. Die besonderen Elemente und in einem Ring werden als Nullelement und als Einselement bezeichnet. Zu einem Element nennt man das nach Fakt eindeutig bestimmte Element mit das Negative von und bezeichnet es mit . Es ist , da wegen das Element gleich dem eindeutig bestimmten Negativen von ist. Statt schreibt man abkürzend und spricht von der Differenz. Die Differenz ist also keine grundlegende Verknüpfung, sondern wird auf die Addition mit dem Negativen zurückgeführt.

Die folgenden Eigenschaften sind für den Ring der reellen Zahlen vertraut, wir beweisen sie aber allein aus den Axiomen eines Rings. Sie gelten daher für jeden Ring.



Lemma  

Sei ein Ring und seien Elemente aus .

Dann gelten folgende Aussagen.

  1. (Annullationsregel),

  2. (Vorzeichenregel),

  3. und ,
  4. (allgemeines Distributivgesetz).

Beweis  

Wir beweisen im nicht kommutativen Fall je nur eine Hälfte.

  1. Es ist . Durch beidseitiges Abziehen von ergibt sich die Behauptung.
  2. nach Teil (1). Daher ist das (eindeutig bestimmte) Negative von .

  3. Nach (2) ist und wegen (dies gilt in jeder Gruppe) folgt die Behauptung.
  4. Dies folgt auch aus dem bisher Bewiesenen.
  5. Dies folgt aus einer einfachen Doppelinduktion.