Ringhomomorphismus/Spektrumsabbildung/Faser/Tensorbeschreibung/Beispiel

Es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und

$\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

die zugehörige

Spektrumsabbildung. Zu einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ ist die Faser zu ${}\varphi ^{*}$ über ${}{\mathfrak {p}}$ gleich ${}\operatorname {Spek} {\left(\kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}S\right)}$. Dies folgt aus

${}\kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}S=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\otimes _{R}S\cong {\left(S/{\mathfrak {p}}\right)}_{\varphi (R\setminus {\mathfrak {p}})}\,$

(nach Fakt) und der Beschreibung der Faser in Fakt.